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SAM复习

2022-07-26 16:34:17 作者：互联网

定义

SAM的定义

字符串$s$的SAM是一个可接受$s$的所有后缀的最小$DFA$(确定的有穷自动机)，可以参考编译原理的龙书(强烈推荐)

SAM是一张有向无环图。节点被称作状态，边被称作状态之间的转移
存在一个初始状态$t_0$，其他各结点都可以从$t_0$出发到达
没有输出$\epsilon$之上的转移，即没有边标号为$\epsilon$(空字符串)的转移
对每个状态$s$和每个输入符号$a$，有且仅有一条标号为$a$的边离开
存在一个或多个终止状态。从$t_0$出发转移到一个终止状态，则路径上的所有转移连接起来构成了$s$的一个后缀。从$t_0$出发到达的每一个结点上路径的转移是$s$的一个子串。
最小的意思是$DFA$中的状态数目最少，但又可以表示所有状态。(结点最少)

重要概念

结束为止endpos

定义：对于$s$的任意非空子串$t$，即$endpos(t)$为子串$t$在$s$中的所有结束位置
等价类：两个子串$t_1$和$t_2$的$endpos$集合可能相同，即$endpos(t_1)=endpos(t_2)$。这样所有字符串$s$的非空子串都可以根据他们的$endpos$集合划分成若干个等价类
SAM中的每个状态对应一个或多个$endpos$相同的子串。SAM的状态个数=等价类个数+1，每个状态是一个等价类
引理1：字符串$s$的两个非空子串$u$和$w$$(|u|\le |w|)$的$endpos$相同，当且仅当字符串$u$的每次出现，都是以$w$后缀的形式出现。比如$s=abcdefgdefgpfg$，令$u=fg$，$w=defg$，显然，$endpos(u)\ne endpos(w)$，因为$s$中出现了$pfg$，$u$出现了，但不是以$w$后缀的形式
引理2：考虑两个非空子串$u$和$w$($|u|\le |w|$)。要么$endpos(u)\cap endpos(w) =\varnothing$，要么$endpos(w)\subseteq endpos(u)$，取决于$u$是否为$w$的一个后缀（可以用上面的例子解释)
引理3：考虑一个$endpos$等价类，将类中的所有子串按长度非递增的顺序排序。那么每个子串都是它前一个子串的后缀，即较短的子串是较长子串的后缀。记这个等价类中最长串长度为$maxlen$，最短串长度为$minlen$，那么这个等价类中的子串长度恰好覆盖了整个区间$[minlen,maxlen]$

后缀链接link

考虑SAM中某个不是$t_0$的状态$v$。状态$v$对应于一个等价类，如果定义$w$为这个等价类中最长串，那么这个等价类中的其他字符串都是$w$的后缀。

并且$w$的前几个后缀(按长度降序考虑)全部包含于这个等价类中，且其他后缀在其他等价类中。什么意思，还是用$s=abcdefgdefgpfg$这个例子，$w=defg$，假设$w$是它所在$endpos$的代表元，那么$endpos(w)=\{defg,efg\}$，但$fg,g$都是$w$的后缀，但它们与$w$不在同一个等价类中

记$t$为不与$w$在同一个等价类中但是$w$的后缀的最长中的一个，显然$|t|=minlen-1$。

于是在状态图中，我们从$w$所在的等价类$v$向$t$所在等价类连一条件记为$link(v)$，这样的边只有一条

引理4：所有后缀链接构成一棵根节点为$t_0$的树
引理5：通过$endpos$集合构造的树（每个子节点的$subset$ 都包含在父节点的 $subset $中）与通过后缀链接$link$构造的树相同。

其中蓝色的边是$SAM$中有向图的边，虚线的蓝色边为后缀连接$link$，构成了一棵树

复杂度

空间复杂度$O(n|\Sigma|)$，其中$|\Sigma|$为字符集的大小
时间复杂度$O(n)$
SAM 的大小（状态数和转移数）为线性的

构造方法

一般可以先求出$SAM$，然后把$link$构成的树重新构建一遍

模板

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e6+10;
struct Node{
    int len,link;
    int ch[26];
}node[N];
int last=1,idx=1;
ll dp[N];
void SAM_Extend(int c){
   int p=last,cur=++idx; //每次新加入的点是一个前缀
   last=cur;
   dp[idx]=1;
   node[cur].len=node[p].len+1;
   for(;p&&!node[p].ch[c];p=node[p].link) node[p].ch[c]=cur;
   if(!p) node[cur].link=1;
   else{
     int q=node[p].ch[c];
     if(node[q].len==node[p].len+1){
        node[cur].link=q;
     }else{
        int nq=++idx;
        node[nq]=node[q];
        node[nq].len=node[p].len+1;
        node[cur].link=node[q].link=nq;
        for(;p&&node[p].ch[c]==q;p=node[p].link) node[p].ch[c]=nq;
     }
   }
}
//构建 link树
struct edges{
    int v,nxt;
}e[N];
int cnt,head[N];
void add(int u,int v){
    e[cnt]={v,head[u]},head[u]=cnt++;
}


//一顿操作
ll ans;
void dfs(int u){
 
    for(int i=head[u];~i;i=e[i].nxt){
        int v=e[i].v;
        dfs(v);
        dp[u]+=dp[v];
    }
    if(dp[u]>1) ans=max(ans,dp[u]*node[u].len);
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    memset(head,-1,sizeof head);
    string s;
    cin>>s;
    int n=s.size();
    for(int i=0;i<n;i++) SAM_Extend(s[i]-'a');
    for(int i=2;i<=idx;i++) add(node[i].link,i);
    dfs(1);
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;
}

应用

检查字符串是否出现
不同子串个数
- 方法一：在SAM有向无环图上用动态规划求
- 方法二：在$link$树上求，每个节点对应的子串数量是$len(i)-len(link(i))=maxlen(i)-maxlen(link(i))$
所有不同子串的总长度
字典序第$k$大子串
最小循环移位
出现次数
- 假设模式串为$P$，文本串为$T$，那么构造出$T$的SAM后，在$link$树上找到$P$所在的节点，对应节点的$endpos$大小就是$P$的出现次数。$endpos$大小直接在$link$数上从子节点递推即可。
所有出现位置
最短的没有出现的字符串
两个字符串的最长公共子串
多个字符串间的最长公共子串

标签：node,子串,复习,SAM,int,后缀,link,endpos
来源： https://www.cnblogs.com/Arashimu0x7f/p/16521494.html