背包问题

体面一般是给你n个物品，体积为m的背包，每个物品的体积为v[i],价值w[i],求这个背包可以装的最大价值。

1.dp问题的分析思路。

1.状态表示有表示当前状态下的集合里面某个属性的最优解。属性一般就是最大值，最小值，数量。

2.状态计算就是考虑如何把当前集合划分为更小的子集，然后从前面已经求解的结果计算出来。如背包问题集合划分就是考虑选不选第i个物品。要求对集合的划分不应该漏掉某种情况。

所以动态规划的解题思路应该是先定义状态（状态表示），然后对这个状态所定义集合划分，然后在由集合的性质来从前面已经求解的状态来求解。

1.01背包

这个公式基本上是所有背包的核核心吧，基本都是从他优化来的。f[i] [j]代表的状态时选取i个物品，那状态如何计算呢？那就是选与不选第i个物品。于是就有了下面这个状态转移方程，

$$
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])
$$

很明显这个f[i] [j]状态都是从f[i-1]行优化过来。所以他也可以优化从一维的。

$$
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])
$$

但是注意这样枚举体积的时候就应该逆序枚举，因为这样我求每一个状态f[i]的时候他前面的都还是没有更新的(也就是前面状态都还是上一行的)。

2.完全背包

完全背包的状态转移方程推导

由这个可以推到完全背包的状态转移方程是

$$
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
$$

他也是可以优化的。很明显f[i] [j]的推导只与他这一行有关系，是从f[i]行转移过来的，所以是转移f[i] [j]时只需要这一行更新的。所以将他化成一维的的时候时需要更新这一行。所以我枚举体积的时候应该顺序枚举。

$$
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])
$$

3.多重背包

1. 二进制优化 （优化成了01背包）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=25000,M=2010;
int n,m;
int v[N],w[N],dp[M];
int main(){
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a,b,s;
        cin>>a>>b>>s;
        int k=1;
        while(k<=s){
            v[++cnt]=a*k;
            w[cnt]=b*k;
            s-=k;
            k*=2;
        }
        if(s>0){
            v[++cnt]=a*s;
            w[cnt]=b*s;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

4.分组背包

就是每组只能选一个。

那很明显状态转移就是要么不选这一组，要么就在这一组中选择第k个

$$
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k])
$$

这个复杂度很明显时O(n^3)的。

5.到达型背包

这主要就是看某个状态可不可以到达，比如洛谷的砝码称重，就是看某个状态可不可达。还有音量调节。

一般就是选不选这个物品，但是的注意是都从上一行优化过来的吗？都是从一侧优化过来的吗？

$$
dp[i][j]=dp[i-1][j]||dp[i-1][j-v[i]]
$$

这两个状态有一个是可达的dp[i] [j]就是可达的。

疑问：背包问题对于dp[i]一定使装满的吗？不一定呀，那为什么洛谷p2918可以这样写？不懂

标签：状态,cnt,背包,int,max,问题,dp
来源： https://www.cnblogs.com/silky----player/p/16519243.html