P8110 [Cnoi2021]矩阵

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题解

• 分析

  以样例1为例：

  3 0
  1 2 3
  4 5 6

  根据题意，A_{ij}=a_i\times b_j，很容易得到：

  $$
  A= \begin{bmatrix} 4&5&6\\ 8&10&12\\ 12&15&18\\ \end{bmatrix}
  $$
  

  诶，有没有发现一个特殊的性质？

  矩阵A的行和列线性相关1！！！

  从而，矩阵A的秩r(A)=1，于是有一个结论2：

  $$
  A^k=\tr(A)^{k-1}A
  $$
  

  其中，\tr(A)称为矩阵A的迹，即A的主对角线上的元素之和（在这里即\sum_{i=1}^{n}a_ib_i）

  那么，此题已解。

  $$
  \begin{align} Ans&=\tr(A)^{k-1}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{A_{ij}} \\&=(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^{k-1}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{a_i\cdot b_j} \\&=(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^{k-1}\sum_{i=1}^{n}{a_i}\sum_{j=1}^{n}{b_j} \\&=(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^{k-1}(\sum_{i=1}^{n}{a_i})\cdot(\sum_{j=1}^{n}{b_j}) \end{align}
  $$
  

  快速幂处理(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i)^{k-1}即可

  时间复杂度：O(n+\log k)

• 代码

  #include<iostream>
  #include<cstdio>
  #define ll long long
  #define maxn 100010
  #define P(x) ((((x)%p)+p)%p)
  ​
  using namespace std;
  ​
  ll n,k,p=998244353,a[maxn],b[maxn],ans,mula,mulb,mulab;
  ​
  template<typename type>
  inline void read(type &x)
  {
     x=0;bool flag(0);char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)) flag^=ch=='-',ch=getchar();
     while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
     flag?x=-x:0;
  }
  ​
  template<typename type>
  inline void write(type x,bool mode)
  {
     x<0?x=-x,putchar('-'):0;static short Stack[50],top(0);
     do Stack[++top]=x%10,x/=10;while(x);
     while(top) putchar(Stack[top--]|48);
     mode?putchar('\n'):putchar(' ');
  }
  ​
  inline ll ksm(ll x,ll y)
  {
     ll res=1;
     while(y)
    {
         if(y&1) res=P(res*x);
         x=P(x*x);
         y>>=1;
    }
     return res;
  }
  ​
  signed main()
  {
     read(n),read(k);
     for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),a[i]=P(a[i]),mula=P(mula+a[i]);
     for(int i=1;i<=n;i++) read(b[i]),b[i]=P(b[i]),mulb=P(mulb+b[i]),mulab=P(mulab+P(a[i]*b[i]));
     if(!k) {write(n,1);return 0;}
     ans=P(mula*mulb)*P(ksm(mulab,k-1));
     write(P(ans),1);
     return 0;
  }
  ​

• 说明

  [1]  关于线性相关

  在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearly independent)，反之称为线性相关(linearly dependent)。

  「链接：百度百科-线性相关」

  简洁来说，你可以把一个矩阵看作一个变换，矩阵每一列看作一个向量，如：

  $$
  A= \begin{bmatrix} 4&5&6\\ 8&10&12\\ 12&15&18\\ \end{bmatrix}
  $$
  

  可以看作\begin{bmatrix} 4\\8\\12 \end{bmatrix}​，\begin{bmatrix} 5\\10\\15 \end{bmatrix}​，\begin{bmatrix} 6\\12\\18 \end{bmatrix}​这三个描述变换的向量在作用到原空间后形成的空间，由于一共有三列，故有三个坐标，这些向量位于三维空间，它们的作用可以描述为：将基向量\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}分别移到它们所在的坐标。

  观察发现，\begin{bmatrix} 4\\8\\12 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 5\\10\\15 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 6\\12\\18 \end{bmatrix}这三个向量是共线的，因此整个三维空间在被它们作用后塌缩为一条直线（一维），因此矩阵A的秩「也就是A的线性无关的列（或行）的最大数目，即1」为1。

  [2]  关于这个结论的推导过程

  已知一个n\times n矩阵A的秩为1，则A的所有列向量/行向量线性相关，此时由于这三个向量是成比例关系的，因此可以根据矩阵乘法的定义，将A拆解为一个n\times1的矩阵B和一个1\times n的矩阵C的乘积。

  以上面的矩阵A为例：

  $$
  \begin{align} A&= \begin{bmatrix} 4&5&6\\ 8&10&12\\ 12&15&18\\ \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 1\\2\\3\\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 4&5&6\\ \end{bmatrix} \end{align}
  $$
  

  记B=\begin{bmatrix} 1\\2\\3\\ \end{bmatrix},C=\begin{bmatrix} 4&5&6\\ \end{bmatrix}，则A=B\times C​​

   

  因此：

  $$
  \begin{align} A^n&=(B\times C)^n \\&= B\times C\times B\times C...B\times C \\&=B\times(C\times B)\times(C\times B)...\times C \\&=B\times(C\times B)^{n-1}\times C \end{align}
  $$
  

  我们知道，一个1\times n的矩阵乘一个n\times1的矩阵得到的是一个1\times1的矩阵，也就是一个数。

  故：

  $$
  \begin{align} C\times B&=\begin{bmatrix} 4&5&6\\ \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} 1\\2\\3\\ \end{bmatrix} \\&=4\times1+5\times2+6\times3 \\&=32 \end{align}
  $$
  

  我们便愉快地发现：

  $$
  A^n=32^{n-1}\times B\times C=32^{n-1}\times A
  $$
  

  而32不正是矩阵A对角线的元素之和吗？

  证毕。

第一次写题解，如有不足，请谅解～

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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来源： https://www.cnblogs.com/lingyunvoid/p/16503017.html