CF1137E 做题报告
作者：互联网
题目链接
紧跟 zyf 的步伐，发现人间高质量好题。
开始看上去像是一道数据结构题，但是发现 \(k\leq 10^9\) 后果断放弃任何数据结构。
先来看操作一，这种操作的答案可以说是非常简单的，就是 \((1,0)\) 这个二元组。
再来看操作二，操作三可以发现并不是非常显然或者是有简单的做法。
这时我们去考虑每一次操作三对于 \(a_i\) 所需要加上的数：
\[s\times(i-1)+b \quad(1 \leq s,b \leq 10^9) \]可以发现这是系数和截距都是整数的一次函数，也就是说函数单调上升且所有的都大于一。
既然这样，我们就考虑从几何的角度去考虑这个问题。（其实我是看题解的）
其实这种东西包含了 单调性，最值，直线 等关键的词语，很显然会想到凸包上。
随便蒙一个结论：不在当前凸包上的点永远不会是最小值。
换一句话说就是：不论进行多少次操作三，一开始不在下凸包上的点都不是最小值。
来证明一下这个随便猜的结论：
为了方便起见，我们对于每个点进行一次平移：
这样的话每一次操作三的相加的数就变成了 \(si+b\) 。
我们假设平面上有三个点 \(A(x_1,y_1)\) ，\(B(x_2,y_2)\) 和 \(C(x_3,y_3)\) 。
满足 \(x_1<x_2<x_3\) 且 \(y_1>y_2>y_3\) ，同时还满足 \(B\) 在 \(AC\) 连线的上方。
很显然，此时 \(B\) 不在三个点组成的点集的下凸包上。
初始时很显然，画个图就可以发现 \(B\) 不可能是最小的值。
进行一次操作三之后会得到这样的是哪个点。
由之前的 \(A\) ，\(B\) 和 \(C\) 三个点的位置可以知道。
\[\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}<\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ \frac{y_2-y_3}{x_3-x_2}>\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1} \]假设此时 \(B\) 可以是最小值，那么 \(B\) 的值一定要小于 \(C\) 的值，也就是说
\[\begin{split} y_2+x_2k+b&<y_3+x_3k+b\\ y_2+x_2k&<y_3+x_3k\\ (x_3-x_2)k&>y_2-y_3\\ k&>\frac{y_2-y_3}{x_3-x_2} \end{split} \]结合上述等式可以得到
\[k>\frac{y_2-y_3}{x_3-x_2}>\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1} \]所以此时 \(y_2\) 都已经大于 \(y_1\) 了，也就是说 \(B\) 在 \(A\) 的上面，显然假设不成立。
所以我们只要维护一个凸包就可以了。
对于操作一，没有什么好讲的，直接把单调栈清空就可以了。
对于操作二，从后端不断弹出，直到斜率满足下凸包的要求，然后把最后一个点加入。
对于操作三，可以直接记录全局的 \(K\) 和 \(B\) 方便计算。
注意：对于操作二要考虑 \(K\) 和 \(B\) 的影响
具体的细节可以看代码。
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define quad putchar(' ')
#define Enter putchar('\n')
using std::abs;
using std::pair;
using std::string;
using std::make_pair;
#define int long long
template <class T> void read(T &a);
template <class T> void write(T x);
template <class T, class ...rest> void read(T &a, rest &...x);
template <class T, class ...rest> void write(T x, rest ...a);
const int N = 1000005;
int n, m, top = 0, K, B;
struct Point {
int x, y;
Point(int _x = 0, int _y = 0) {x = _x; y = _y;}
friend Point operator+(const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x + q.x, p.y + q.y);}
friend Point operator-(const Point &p, const Point &q) {return Point(p.x - q.x, p.y - q.y);}
friend double operator*(const Point &p, const Point &q) {return 1.0 * p.x * q.y - 1.0 * p.y * q.x;}
} sta[N];
inline int Num(Point now) {
return now.y + K * now.x + B;
}
signed main(void) {
// File("1");
read(n, m);
top = 1; sta[top] = Point(0, 0);
for (int test = 1, op, k, b, s; test <= m; test++) {
read(op);
if (op == 1) {
read(k);
top = 1; sta[top] = Point(0, 0);
n += k; K = B = 0;
} else if (op == 2) {
Point now = Point(n, -(n * K + B));
read(k); n += k;
while (top > 1 && (now - sta[top - 1]) * (sta[top] - sta[top - 1]) > 0.000000001) top --;
sta[++top] = now;
} else if (op == 3) {
read(b, s);
K += s; B += b;
}
while (top > 1 && Num(sta[top]) >= Num(sta[top - 1])) top --;
write(sta[top].x + 1, Num(sta[top])); Enter;
}
return 0;
}
template <class T> void read(T &a) {
int s = 0, t = 1;
char c = getchar();
while (!isdigit(c) && c != '-') c = getchar();
if (c == '-') c = getchar(), t = -1;
while (isdigit(c)) s = s * 10 + c - '0', c = getchar();
a = s * t;
}
template <class T> void write(T x) {
if (x == 0) putchar('0');
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
int top = 0, sta[50] = {0};
while (x) sta[++top] = x % 10, x /= 10;
while (top) putchar(sta[top] + '0'), top --;;;
return ;
}
template <class T, class ...rest> void read(T &a, rest &...x) {
read(a); read(x...);
}
template <class T, class ...rest> void write(T x, rest ...a) {
write(x); quad; write(a...);
}
标签：sta,Point,int,top,CF1137E,报告,include,void 来源： https://www.cnblogs.com/Oier-GGG/p/16489040.html