容斥原理学习笔记
作者：互联网
引入
用一个简单的例子来引入容斥：
这个例子可以说是非常经典，一共有三种活动 \(\{1,2,3\}\) 。
同时你可以查询 \(f(S)\) 会返回参加了 \(S\) 集合中活动的人的个数。
现在的问题是求至少有多少个人参加了活动。
我记得这个是班上高一上集合时的作业最后一题。
看上去非常奇怪，但是可以发现如果根据题目意思画一个韦恩图就是非常简单的事了。
这里省略画图的过程，答案还是比较显然的：
前置知识
二项式定理
可以发现对于 \((a+b)^n\) 的各个位的系数和杨辉三角有很大的关系。
杨辉三角满足 \(T_{i,j}=T_{i-1,j}+T_{i-1,j-1}\) 。
我们记 \(\dbinom{n}{m}\) 表示组合数形如 \(C_n^m\) 。
容易得到：
直接给出二项式定理的结论，证明的话直接归纳。
\[(a+b) ^n = \sum_{i=0}^n\dbinom{n}{i}a^ib^{n-i} \]组合数的相关公式
其实上过小学的人都知道，组合数和杨辉三角也是对应的。
\[\dbinom{n}{i}=\dbinom{n-1}{i}+\dbinom{n-1}{i-1} \]如果要证明的话可以直接化简一下式子。
\[\begin{split} \dbinom{n}{i}&=\frac{n!}{i!(n-i)!}\\ \dbinom{n-1}{i}&=\frac{(n-1)!}{i!(n-1-i)!}=\frac{n!(n-i)}{i!n(n-i)!}\\ \dbinom{n-1}{i-1}&=\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}=\frac{n!i}{i!n(n-i)!} \end{split} \]式子化简到这一步也就是非常显然的了。
奇奇怪怪的知识（可能用不到）
在莫比乌斯反演中好像比较吃香，就是求和符号可以随便换位置。
具体就不举例子了。
正文
最简单的容斥还是之前引入的那个问题。
我们仍然记 \(f(S)\) 为参加了 \(S\) 这个集合中所有活动的人的个数。
但是我们这次要从公式化的角度去得到答案，我们记 \(U\) 表示所有的元素，则：
还是非常简单的，小学生画一个韦恩图都可以搞明白。
比较牛逼的容斥方法
首先我们令之前的 \(f(s)\) 查询操作改名为 \(q(s)\) 。
用 \(g(x)\) 表示一个在结合 \(x\) 中的元素提供的贡献，\(f(x)\) 表示容斥系数。
他们的关系可以这样表示:
接下来我们可以发现，\(f(x)\) 可以通过递推得到。
\[g(n+1)=\sum_{i=1}^{n+1}\dbinom{n+1}{i}f(i)\\ \]因为当 \(i=n+1\) 时 \(\binom{n+1}{i}=\binom{n+1}{n+1}=1\) ，所以可以直接提取出 \(f(n+1)\) 。
\[g(n+1)=\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n+1}{i}f(i)+f(n+1)\\ f(n+1)=g(n+1)-\sum_{i=1}^{n}\dbinom{n+1}{i}f(i) \]直接搞就可以啦。
听说还有多项式求逆的 \(O(n\log n)\) 的做法，但是我不会，先咕一下。
一些应用或者入门题
1. 还是之前引入时的题目，可以进行一些转化。
直接套用公式就可以了，这里就再把式子放一下，不再进行解释：
\[Ans=\sum_{S\subseteq U}f(S)(-1)^{|s|+1} \]2.错排问题
错排就是对于 \(1\sim n\) 的排列 \(a_i\) ，对于所有的 \(i\) ，满足 \(a_i\neq i\) 。
直接算贡献不太好算，计算出不合法也就是存在 \(a_i=i\) 的情况。
我们假设有 \(num\) 个位置满足 \(a_i=i\) ，那么剩下来的怎么拍都可以，也就是 \((n-num)!\) 。
我们用 \(f(n)\) 表示长度为 \(n\) 的排列的错排个数。
很容易列出下面的这个式子：
这个式子是非常显然的，现在来看看可不可以搞出一个递推式。
\[\begin{split} f(n+1)&=\sum_{i=0}^{n+1}(-1)^i\dbinom{n+1}{i}(n+1-i)!\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n+1}{i}(n+1-i)!+(-1)^{n+1}\dbinom{n+1}{n+1}(n+1-n-1)!\\ &=(-1)^{n+1}+\sum_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n+1}{i}(n+1-i)! \end{split} \]前面非常清楚了，现在来看后面的那一个部分：
\[\begin{split} Num&=\sum_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n+1}{i}(n+1-i)!\\ &=\sum_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}\times(n+1)\times(n-i)!\times(n+1)\\ &=(n+1)^2\sum_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}(n-i)! \end{split} \]可以发现现在和之前的式子
\[f(n) = \sum_{i=0}^n(-1)^i\dbinom{n}{i}(n-i)! \]挂上了关系。
所以就可以得到递推式：
3.Hdu 上的一道简单题 Co-prime
题目描述：给你 \(l\) ，\(r\) 和 \(n\) ，问 \([l,r]\) 中有多少个数和 \(n\) 互质。
其中 \(l,r\leq 10^{15}\) ，\(n\leq10^9\) 。
很容易发现，直接计算不太好算，所以采用类似前缀和的方法。
我们记录 \(f(i)\) 表示 \([1,i]\) 中和 \(n\) 互质数的个数，那么答案是 \(f(r)-f(l-1)\) 。
现在来考虑怎么计算出 \(f(i)\) 。
发现最坏的情况下 \(n\) 只会有 \(10\) 个质因数组成，所以我们先对 \(n\) 质因数分解。
然后直接 \(pnum!\) 暴力枚举每一种可能性就可以了。
直接容斥，具体细节直接看代码：
#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define quad putchar(' ')
#define Enter putchar('\n')
using std::abs;
using std::pair;
using std::string;
using std::make_pair;
#define int long long
template <class T> void read(T &a);
template <class T> void write(T x);
template <class T, class ...rest> void read(T &a, rest &...x);
template <class T, class ...rest> void write(T x, rest ...a);
int T, l, r, n, num[50], tot, ok[50], ans1, ans2;
inline void get_prime(int n) {
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
num[++tot] = i;
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n != 1) num[++tot] = n;
return ;
}
inline void dfs(int k) {
if (k > tot) {
int chose = 0, tmp = -1, mul = 1;
for (int i = 1; i <= tot; i++) {
chose += ok[i];
mul = mul * (ok[i] == 1 ? num[i] : 1);
}
if (chose % 2 == 0) tmp = 1;
ans1 += (l - 1) / mul * tmp;
ans2 += r / mul * tmp;
return ;
}
ok[k] = 1; dfs(k + 1);
ok[k] = 0; dfs(k + 1);
}
signed main(void) {
read(T);
for (int test = 1; test <= T; test ++) {
tot = ans1 = ans2 = 0;
memset(num, 0, sizeof(num));
read(l, r, n); get_prime(n);
dfs(1);
printf("Case #%d: ", test);
write(ans2 - ans1); Enter;
}
return 0;
}
/*
2
1 10 2
3 15 5
*/
template <class T> void read(T &a) {
int s = 0, t = 1;
char c = getchar();
while (!isdigit(c) && c != '-') c = getchar();
if (c == '-') c = getchar(), t = -1;
while (isdigit(c)) s = s * 10 + c - '0', c = getchar();
a = s * t;
}
template <class T> void write(T x) {
if (x == 0) putchar('0');
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
int top = 0, sta[50] = {0};
while (x) sta[++top] = x % 10, x /= 10;
while (top) putchar(sta[top] + '0'), top --;
return ;
}
template <class T, class ...rest> void read(T &a, rest &...x) {
read(a); read(x...);
}
template <class T, class ...rest> void write(T x, rest ...a) {
write(x); quad; write(a...);
}
标签：dbinom,int,sum,容斥,笔记,template,原理,include,void 来源： https://www.cnblogs.com/Oier-GGG/p/16472395.html