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USACO 2020 Dec (P) Editorial

2022-07-14 21:32:37 作者：互联网

写这篇题解很有挑战性啊，两黑一紫，黑题还是看着玄乎的题解和玄乎的 std 做的。不过还是整理一下的好。

B. Spaceship

有一个 \(N(N\le 60)\) 个点的有向图（用邻接矩阵给你了）。给你 \(Q(Q\le 60)\) 次独立的询问，每次你可以从一个点 \(s\) 出发，到达另一个点 \(t\) 停下来，只要沿着边走，可以经过重复点和边，\(t\) 在最终之前也可以重复到达而不停；你手上有个遥控器，上面有 \(1\sim K\) 共 \(K\) 个 button，每到达一个点（包括 \(s,t\)）你都要按下一个可用的 button \(b\)，这会让 button \(1\sim b-1\) 都变成可用的，而 \(b\) 变成暂时不可用的；询问有多少种行动方案，使得最开始在 \(s\) 时按了 \(b_s\)，最终在 \(t\) 时按了 \(b_t\)。

首先观察性质，假如把 buttons 按从左到右为位数从低到高的顺序看成一个二进制数（从 \(1\) 到 \(K\)），那么可以发现最高位是单调不降的。这将启发我们将最高位纳入 dp 状态。
我们设 \(f(l,i,j)\) 表示只按过位数 \(\le l\) 的 buttons，从 \(i\) 走到 \(j\) 的行动方案。
分类讨论。

若只按过 \(<l\) 的 buttons，则一定只按过 \(\le l\) 的 buttons，因而 \(f(l,i,j)\gets f(l-1,i,j)\)
若按过 \(l\) 号 button，发现只会按唯一的一次，我们可以设是在哪儿按了它，即按照套路，可以枚举中转点 \(k\)，则 \(f(l,i,j)\gets \sum_{u\in \text{Neighbour}(k)}{v\in \text{Neighbour}(k)}f(l-1,i,u)\cdot f(l-1,v,j)\)。我们考虑到：交换求和顺序可以分别计算 \(g(l-1,i)=\sum f(l-1,i,u)\) 和 \(h(l-1,j)=\sum f(l-1,v,j)\)，并最后直接 \(f(l,i,j)\gets g(l-1,i)\cdot h(l-1,j)\)。

怎么把询问中的限制 \(s:b_s,t:b_t\) 放进来？
首先我们想到可以枚举 \(s'\in \text{Neighbour}(s),t'\in\text{Neighbour}(t)\)，但是这样没有办法晓得 \(l\) 那维的终状态是什么，pass 掉。
然后我们想到可以对于每一个询问，建立两个新点 \(S,T\)，它们不可作为 \(k\)（中转点），因为它们是虚拟的；我们正常转移，唯一不同的地方在于，当 \(i=S,k=s,l=b_s\) 时，如果不特判 \(g(l-1,k)=1\)，那 \(g(l-1,k)\) 就是 \(0\) 了，这可不行，所以要特判，\(j=T,k=t,l=b_t\) 时类似的。最后 \(f(K,S,T)\) 就是答案了。诶，这个方法不错！不过它是 \(O(QN^3K)\) 的，比较够呛！
我们来考虑这个做法的核心是什么，那就是把 \(s,t\) 融入了进来。更神奇的是，复杂度没有增加！如果将所有的 \(s_i,t_i\) 分别建立虚拟点 \(S_i,T_i\) 融入进来，按照上面类似的方法，复杂度就是 \(O(N(N+Q)^2K+Q)\) 了，由于 \(N,Q\) 同阶，所以相当于还在上面的做法的复杂度上削掉了一个 \(O(N)\)。

接下来的部分很重要，因为如果你直接开始写可能发现啥正确答案都得不到，因为不太知道 dp 边界。这个是最难 figure out 的部分。
\(l\) 从 \(1\) 到 \(K\) 枚举，\(f\) 不需初始化，但考虑 \(f(\cdot,k,\cdot)\) 和 \(f(\cdot,\cdot,k)\)，它们会算错，原因在于 \(g(l-1,k)=h(l-1,k)=0\)，所以加一句特判，\(=1\)。
然后你发现我们 AC 了！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=66,mod=1e9+7;
int n,K,q,r,f[N][N*2][N*2],g[N*2],h[N*2],s[N],bs[N],t[N],bt[N],mp[N];
char str[N];
bool e[N][N];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&K,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%s",str+1);
		for(int j=1;j<=n;j++)e[i][j]=str[j]-'0';
	}
	for(int i=1;i<=q;i++)scanf("%d%d%d%d",&bs[i],&s[i],&bt[i],&t[i]);
	for(int l=1;l<=K;l++){
		for(int k=1;k<=n;k++){
			memset(g,0,sizeof g),memset(h,0,sizeof h);
			g[k]=h[k]=1;
			for(int i=1;i<=n+q;i++){
				for(int u=1;u<=n;u++)if(e[u][k])(g[i]+=f[l-1][i][u])>=mod&&(g[i]-=mod);
				if(i>n&&k==s[i-n]&&l==bs[i-n])g[i]++;
			}
			for(int j=1;j<=n+q;j++){
				for(int v=1;v<=n;v++)if(e[k][v])(h[j]+=f[l-1][v][j])>=mod&&(h[j]-=mod);
				if(j>n&&k==t[j-n]&&l==bt[j-n])h[j]++;
			}
			for(int i=1;i<=n+q;i++)for(int j=1;j<=n+q;j++)(f[l][i][j]+=1ll*g[i]*h[j]%mod)%=mod;
		}
		for(int i=1;i<=n+q;i++)for(int j=1;j<=n+q;j++)(f[l][i][j]+=f[l-1][i][j])%=mod;
	}
	for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",f[K][i+n][i+n]);
}

C. Cowmistry

从集合 \(S=[l_1,r_1]\cup[l_2,r_2]\cup\dots\cup[l_N,r_N](\forall 1\le i<N,r_i<l_{i+1};\forall 1\le i\le N,0\le l_i,r_i\le 10^9)\) 中选 \(3\) 个不同的数 \(a,b,c\)，使得 \(a\oplus b,b\oplus c,a\oplus c\le K\)，问有多少个合法的无序三元组 \((a,b,c)\)（即 \((a,b,c),(a,c,b),\dots\) 算一样的）。模 \(10^9+7\)，\(N\le 2\times 10^4,K\le 10^9\)。

先把 K++，\(\le K\) 变成 \(<K\)。这对后面有帮助。
再求一个 \(>K\) 的最小 \(P=2^o\)。
首先 \(a/P=b/P=c/P\) 是条件成立的必要条件。分类讨论。

\(a/\frac P2=b/\frac P2=c/\frac P2\) 时，条件显然成立，
否则，不妨设 \(a/\frac P2<b/\frac P2=c/\frac P2\)（由鸽巢原理可知必有两个相等），那么 \(b\oplus c<K\) 是一定的，而……

没时间了，（主要是写不下去了），这里是官方题解和洛谷翻译题解，都写得很好，当是自己写的吧，，，，

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
const int N=1e5+5,mod=1e9+7,I2=500000004,I6=166666668;
int n,k,P,ans;
vector<pii>ran;
map<int,vector<pii> >mp;
inline int calc(vector<pii>a){
	int s=0;
	for(pii t:a)s+=t.se-t.fi+1;
	return s%mod;
}
inline int C(int n,int m){
	if(m==2)return n*(n-1ll)%mod*I2%mod;
	return n*(n-1ll)%mod*(n-2)%mod*I6%mod;
}
void work(vector<pii>a,vector<pii>b,int P,int cur){
	if(!a.size())return;
	if(!b.size()){
		(ans+=1ll*calc(a)*C(cur,2)%mod)%=mod;
		return;
	}
	if(b.size()==1&&!b[0].fi&&b[0].se==P-1){
		(ans+=1ll*calc(a)*C((cur+(k&(P-1)))%mod,2)%mod)%=mod;
		return;
	}
	vector<pii>A[2],B[2];
	for(pii t:a){
		int tl=max(t.fi-P/2,0),tr=min(t.se-P/2,P/2-1);
		if(tl<=tr)A[1].push_back(mkp(tl,tr));
		tl=t.fi,tr=min(t.se,P/2-1);
		if(tl<=tr)A[0].push_back(mkp(tl,tr));
	}
	for(pii t:b){
		int tl=max(t.fi-P/2,0),tr=min(t.se-P/2,P/2-1);
		if(tl<=tr)B[1].push_back(mkp(tl,tr));
		tl=t.fi,tr=min(t.se,P/2-1);
		if(tl<=tr)B[0].push_back(mkp(tl,tr));
	}
	if(k&(P/2))work(A[0],B[1],P/2,(cur+calc(B[0]))%mod),work(A[1],B[0],P/2,(cur+calc(B[1]))%mod);
	else work(A[0],B[0],P/2,cur),work(A[1],B[1],P/2,cur);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);k++;//【易错】先k++，再求P
	int o=log2(k)+1;
	P=1<<o;
	k-=P/2;
	for(int i=1,l,r;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		int Ll=!l?0:(l-1)/P+1,Lr=(r+1)/P;
		if(Ll>Lr)mp[Ll-1].push_back(mkp(l%P,r%P));
		else {
			(ans+=(2ll*C(P/2,3)%mod+1ll*P*C(k,2)%mod)%mod*(Lr-Ll)%mod)%=mod;
			if(P*Ll>l)mp[Ll-1].push_back(mkp(l%P,P-1));
			if(P*Lr<=r)mp[Lr].push_back(mkp(0,r%P));
		}
	}
	vector<pii>a,b;
	for(auto ran:mp){
		a.clear(),b.clear();
		for(pii t:ran.se){
			if(t.fi<P/2&&P/2<=t.se){
				a.push_back(mkp(t.fi,P/2-1));
				b.push_back(mkp(0,t.se%(P/2)));
			}
			else {
				if(t.fi<P/2)a.push_back(mkp(t.fi,t.se));
				else b.push_back(mkp(t.fi%(P/2),t.se%(P/2)));
			}
		}
		work(a,b,P/2,0),work(b,a,P/2,0);
		(ans+=C(calc(a),3))%=mod,(ans+=C(calc(b),3))%=mod;
	}
	cout<<ans;
}

标签：return,Editorial,int,cdot,2020,mp,&&,Dec,mod
来源： https://www.cnblogs.com/impyl/p/16479386.html

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