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[SDOI2013] 森林（主席树+启发式合并）

2022-07-13 12:03:34 作者：互联网

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description

给一个森林，每个点有权值。在线(每次每个变量xor lastans)
操作如下：

Q x y k:查询x到y的路径上第k小的权值（保证x到y至少k个点）
L x y:将x和y连边。

solution

从Q和L分别可以猜测需要用到主席树和lct。

主席树是我一直不太熟的数据结构，作用可以维护一段历史版本的方案（每一个历史版本都是上一个版本加简单增量而来的），查询一段版本则是差分。
一般线性表，就从左往右依次加入（利用上一个版本加上增量，增量一般新建log级别的节点）

首先不会虽然还可做的lct……
询问：可以想象为主席树，每个节点维护到根的各个权值的个数。每个节点可以由父亲版本推到，因此insert操作也是很好写的。
还需要倍增求lca。路径某权值个数为：两端到根的和-lca到根-lca的父亲到根。
操作：加边等同于合并两个连通块。用并查集维护连通块以及大小。然后发现主席树这种东西不好修改，一次只能对一个节点的版本改。多个节点，不就是暴力了吗？
优化暴力，用启发式合并即可。时空复杂度\(O(nlog^2n)\)
具体就dfs轻的连通块里每一个点，暴力更新（父亲，dep，倍增数组，对应主席树版本）。

*ps.70pt的注意：dfs中更新节点的倍增数组时要更新到\(2^i>=n\)而不是\(2^i>=dep\)，因为是动态图，之前的\(dep\)可能比现在大的，所以没更新到的本来应该默认为\(0\),但此时可能非\(0\)，要再更一下（相当于清空）。这题直接更到\(16\)就行了。

code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
const int M=1e7+5;
int fa[N],sz[N],nd,val[N],lg[N],f[N][21],dep[N];
int g_fa(int u) {return fa[u]==u?u:fa[u]=g_fa(fa[u]);} 
struct seg {int cnt,ls,rs;}T[M];
int rt[N],n,m,nxt[N],to[N],head[N],ecnt,a[N];
void add_edge(int u,int v) {
	nxt[++ecnt]=head[u];to[ecnt]=v;head[u]=ecnt;
	nxt[++ecnt]=head[v];to[ecnt]=u;head[v]=ecnt;
}
int LCA(int x,int y) {
	if(dep[x]<dep[y]) {swap(x,y);}
	int k=dep[x]-dep[y];for(int i=0;i<=lg[k];i++)if((1<<i)&k)x=f[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=lg[dep[x]];i>=0;i--)if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}
void Build(int &x,int l,int r) {		//Build(rt[0])用这样每个节点都能指向它有完整的左右子树信息 
	x=++nd;
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	Build(T[x].ls,l,mid),Build(T[x].rs,mid+1,r);
}
void Insert(int &x,int fx,int l,int r,int v) {
	x=++nd;
	T[x]=T[fx]; T[x].cnt++;
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	(v<=mid)?Insert(T[x].ls,T[fx].ls,l,mid,v):Insert(T[x].rs,T[fx].rs,mid+1,r,v);
}

void dfs(int x,int fx) {
	dep[x]=dep[fx]+1;
	f[x][0]=fx;	
	for(int i=1;i<=16;i++) {f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];}		//必须更到 16,有一些虽然到不了，但要赋0(clear\kk) 
	Insert(rt[x],rt[fx],1,m,a[x]);
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		int y=to[i];if(y==fx)continue;
		dfs(y,x);
	}
}

int lans;
void Query(int x,int y,int fx,int fy,int l,int r,int k) {	//x,y,lca,fa[lca]
	if(l==r) {lans=val[l];return;}
	int w=T[T[x].ls].cnt+T[T[y].ls].cnt-T[T[fx].ls].cnt-T[T[fy].ls].cnt,mid=(l+r)>>1;
	if(w>=k) {Query(T[x].ls,T[y].ls,T[fx].ls,T[fy].ls,l,mid,k);}
	else {Query(T[x].rs,T[y].rs,T[fx].rs,T[fy].rs,mid+1,r,k-w);}
}
int main() {
//	freopen("P3302_6.in","r",stdin);
//	freopen("ans.out","w",stdout);
	int testcase;scanf("%d",&testcase);
	int cm,T;scanf("%d%d%d",&n,&cm,&T);
	lg[1]=0;for(int i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&a[i]);val[i]=a[i];}
	sort(val+1,val+1+n);m=unique(val+1,val+1+n)-val-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {sz[i]=1;fa[i]=i;a[i]=lower_bound(val+1,val+1+m,a[i])-val;}
	
	for(int i=1;i<=cm;i++) {
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);add_edge(x,y);
		int u=g_fa(x),v=g_fa(y);
		if(u==v)continue;
		sz[v]+=sz[u];fa[u]=v;
	}
	Build(rt[0],1,m);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		if(g_fa(i)==i) {dfs(i,0);}
	}
	for(int i=1;i<=T;i++) {
		char ch[3];int x,y,k;
		scanf("%s%d%d",ch,&x,&y);
		x^=lans,y^=lans;
		if(ch[0]=='Q') {
			scanf("%d",&k);k^=lans;
			int c=LCA(x,y);
			Query(rt[x],rt[y],rt[c],rt[f[c][0]],1,m,k);
			printf("%d\n",lans); 
		}
		else {
			add_edge(x,y);
			int u=g_fa(x),v=g_fa(y);
			if(sz[u]>sz[v]){swap(x,y);swap(u,v);}
			fa[u]=v;sz[v]+=sz[u];
			dfs(x,y);
		}
	}
	return 0;
}

标签：rs,int,合并,mid,ecnt,fa,SDOI2013,ls,启发式
来源： https://www.cnblogs.com/bestime/p/16473340.html