【题解】P3147 [USACO16OPEN]262144 P（DP）
作者：互联网
【题解】P3147 [USACO16OPEN]262144 P
虽然是道绿题，但我还是挂/卡了很久，是道好题，写篇题解记录一下。
题目链接
P3147 [USACO16OPEN]262144 P - 洛谷
下面这道题是上面的弱化版，只是数据范围不同，但有一种解法只能通过 P3147，所以这里都以 P3147 为例解释（P3147 的 AC 代码可以通过 P3146）,但是会讲到两种解法。
题意概述
有一个长为 \(n(2 \le n \le 262144)\) 的正整数序列，范围在 \([1,40]\)。在一步中，可以选择相邻的两个相同的数，然后合并成一个比原来大一的数（例如两个 \(7\) 合成一个 \(8\)），最大化出现过的最大的数。
思路分析
真的是道妙题，单从线性 DP 的角度思考我愣是想不出来 DP 状态；而从区间 DP 的角度想又做法假了。这里记录线性 DP 和区间 DP 两种解法。
解法一：线性 DP
要合成一个数 \(i\)，那么就要找到两个相邻的最大值为 \(i-1\) 的区间。
定义 \(dp_{i,j}\) 表示左端点为 \(j\)，能合并出 \(i\) 的右端点的位置。
发现这玩意跟倍增有点相似。
那么有：
\[dp[i][j]=dp[i-1][dp[i-1][j]] \]画个图解释一下：
相当于是从 \(j\) 开始找到合并出 \(i-1\) 的右端点位置，再从这个右端点位置往后找到从这个位置开始能合并出 \(i-1\) 的第二个右端点位置。
那么就相当于找到了两段相邻的最大值为 \(i-1\) 的区间，可以合并出 \(i\)。
这么妙的做法我怎么就想不到呢。/kk
那么我们只需要在刚开始输入时，初始化 \(dp[a_i][i]=i+1\)。（注意不是 \(i\) 而是 \(i+1\)）
然后枚举 \(i\)，在这道题中 \(a_i\) 最大到 \(40\)，这种倍增式合并，能合成的最大的 \(i\) 为 \(40+ \log n=40+ \log 262144 \approx 40+18=58\)，所以只需要把 \(i\) 从 \(1\) 枚举到 \(58\) 即可。
最后枚举 \(j\)，\(j\) 从 \(1-n\)。
时间复杂度：\(O(58 n)\)。
解法二：区间 DP
注：这种解法是针对 P3146 的，由于 P3147 的数据范围较大，此种做法行不通。
相对于这个题的线性 DP，区间 DP 是更好想的。
看到“合并”，应该一眼想到区间 DP。
我当时心想：这题如果用区间 DP 未免也太简单了，然后立马开写，结果却 WA 了，只有 \(58pts\)……我真菜。。
这里记录一下我的思路历程。
刚开始想，这题不就是石子合并（弱化版） - 洛谷的变形嘛。
用 \(dp_{l,r}\) 表示区间 \([l,r]\) 所能合成的最大值，在求解 \(dp_{l,r}\) 时，枚举断点 \(k\)，然后分类讨论。
-
当 \(dp_{l,k}=dp_{k+1,r}\) 时，\(dp_{l,r}=\max(dp_{l,r},dp_{l,k}+1)\)。即：\([l,k]\) 和 \([k+1,r]\) 是两段能合成最大值相同的区间，答案即为两段的 \(dp\) 值 \(+1\)；
-
当 \(dp_{l,k} \ne dp_{k+1,r}\) 时，\(dp_{l,r}=\max(dp_{l,r},dp_{l,k},dp_{k+1,r})\)。即：若两段所能合成的最大值不相同，则区间 \([l,r]\) 在所有这些区间中取最大值。
最后答案是 \(dp_{1,n}\)。但是这样交上去却 WA 了，只有 \(58pts\)，然后看了眼评论区发现我的做法假了。
Hack：
3
2 1 2
按照我上述思路：
在求 \(dp_{1,3}\) 时，由于 \(dp_{1,1}=dp_{2,3}=2\)，所以 \(dp_{1,3}=3\)，但实际答案应该是 \(2\)。
因为 \(dp_{2,3}\) 的答案是继承了 \(dp_{3,3}\)，而这样的继承在这一次转移中是可以的，但当用 \(dp_{2,3}\) 去计算 \(dp_{1,3}\) 却由于 \(1\) 和 \(3\) 不连续，所以得到的答案是错误的。
那么怎么做呢。
可以用一个变量 \(ans\) 表示当前找到的最大值答案。
对于每个 \(dp_{l,r}\)，只有当 \(dp_{l,k}=dp_{k+1,r}\) 的时候更新值，然后每次将 \(ans\) 更新为当前最大即可。
注意 \(ans\) 在初始输入时也要更新一遍。
时间复杂度：
代码实现
解法一
//luoguP3147
//线性 DP 解法
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=262150;
int a[maxn],dp[65][maxn];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
int main()
{
int n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=read();
dp[a[i]][i]=i+1;
}
int ans=0;
for(int i=2;i<=58;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!dp[i][j])dp[i][j]=dp[i-1][dp[i-1][j]];
if(dp[i][j])ans=i;
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
/*dp[i][j] 表示左端点为 j，能合并出 i 的右端点位置。
那么 dp[i][j]=dp[i-1][dp[i-1][j]].
可以发现数字大小最大为 40+log n = 58.
这题怎么这么妙啊！我为什么就想不到！
*/
解法二
//luoguP3146
//区间 DP 解法
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=255;
int dp[maxn][maxn],a[maxn];
int ans;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
int main()
{
int n;
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=read();dp[i][i]=a[i];
ans=max(ans,a[i]);
}
for(int len=2;len<=n;len++)
{
for(int l=1;l+len-1<=n;l++)
{
int r=l+len-1;
for(int k=l;k<r;k++)
{
if(dp[l][k]==dp[k+1][r])dp[l][r]=max(dp[l][r],dp[l][k]+1);
ans=max(dp[l][r],ans);
}
// cout<<l<<" "<<r<<" "<<dp[l][r]<<endl;
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
/*3
2 1 2
*/
标签：ch,DP,int,题解,USACO16OPEN,区间,解法,dp 来源： https://www.cnblogs.com/xrkforces/p/luogu-P3147.html