号爸2022暑假插班测试 D 解题报告

给出两个整数 \(n, m\)。问有多少个长度为 \(n\) 的序列 \(A\)，满足以下条件：
• \(1 ≤ A_i ≤ m(i = 1, 2, · · · , n)\)
• \(∀i ∈ [1, n − 1], A_{i+1}\) 是 \(A_i\) 的倍数。
由于答案可能很大，所以你只需要输出答案对 \(998244353\) 取模的结果。

例如： \(n = 3,m = 4\) 有 \(13\) 个符合条件的序列，分别是： \([1,1,1],[1,1,2],[1,1,3],[1,1,4],[1,2,2],[1,2,4],[1,3,3],[1,4,4],[2,2,2],[2,2,4],[2,4,4],[3,3,3],[4,4,4]\)。

分析：
考虑固定最后一个数，计算其贡献。

先举个例子。譬如，我们最后一个数是 \(6\)。
如果只有一个数，那只有一种情况： \([6]\)。
如果有两个数，第一个数可以取 \(6\) 的因子，有 \(4\) 种情况： \([1,6],[2,6],[3,6],[6,6]\)。
如果有三个数，那么第一个数可以取第二个数的因子，由于 \(1,2,3,6\) 分别由有 \(1,2,2,4\) 个因子，所以有 \(1+2+2+4=9\) 种情况。

考虑 \(6=2^1 \times 3^1\)，前面的数都逃不开它的因数。尝试统计所有情况中 \(6\) 的每个因数在第一个数出现的次数。

\(n=1:\)

\(n=2:\)

\(n=3:\)

发现这好像是前缀和的形式。

标签：第一个,因数,情况,因子,解题,2022,序列,插班
来源： https://www.cnblogs.com/Zeardoe/p/16414706.html