拉丁方 文案

这是一个填充好的，阶数为 4 的拉丁方，共包含 4 种元素。

它的每行，每列的元素，都不相同。

但我们遇到的拉丁方可能并没有填充完整。像是这样。

在尝试过一小会儿之后，我们可以得到一些解法。例如对于中间的这个拉丁方，我们只需要把每列还没填的数填上就可以了。但我们并不总是如此幸运，对于一些拉丁方，解是不存在的。例如，在左边这个拉丁方中，两个 3 出现在了同一列，这显然是不行的。而在右边这个拉丁方中，对于右上角的这个格子，没有数可以填。

好奇的观众自然就会问了，“在什么样的情况下，一个部分拉丁方一定可以被填充完整呢？”

我们回到刚刚最右边的那个拉丁方，它告诉我们，对于已经有大于等于 n 个元素的拉丁方是不一定能填充完整的。那么，是不是小于 n 个就一定可以呢？答案是，“正确的！”。在接下来的时间里，我会简单讲述 Hall 定理，以及给出这个命题的构造性证明过程。之所以说是构造性的，是因为你可以根据这个证明得到一种将拉丁方填满的办法。

在证明这个事实之前，我们先来研究一些性质。首先，容易发现，在交换一个拉丁方的两列之后，新得到的图形也是拉丁方。因为每列和每行的元素没有变，只是相对位置变了。交换行是同理的。同样地，我们也可以交换元素值。因为我们只关心数字之间是否相同，而非它们的大小关系。进一步地，我们可以把每个格子的坐标和值列出来，会得到一个 \(3\times n^2\) 的矩阵，我们暂且将其称为线列（line array）。格子坐标不同意味着不会出现相同的二元组（R，C）。根据拉丁方的定义，一行中的元素各不同，这意味着：如果两个格子行数相同，那么元素值就不同；如果两个各组有着相同元素，那么格子行数就不同。这说明不存在相同的二元组 （R，E）。（C，E）同理。那么，如果我们任选两行来看的话，都会构成 \(n^2\) 个不同的二元组。这意味着，R、C、E 这三者是等价的。我们交换任意两行，都会得到一个新的符合条件的拉丁方。

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