[NOIP2009 提高组] 最优贸易 题解
作者：互联网
题目描述
\(C\) 国有 \(n\) 个大城市和 \(m\) 条道路，每条道路连接这 \(n\)个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 \(m\) 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 $1 $条。
\(C\) 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 \(C\) 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 \(C\) 国 n 个城市的标号从 \(1~ n\)，阿龙决定从 \(1\) 号城市出发，并最终在 \(n\) 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 \(n\) 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 \(C\) 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
假设 \(C\) 国有 \(5\) 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。
假设 \(1-n\) 号城市的水晶球价格分别为 \(4,3,5,6,1\)。
阿龙可以选择如下一条线路：\(1\)->\(2\)->\(3\)->\(5\)，并在 \(2\) 号城市以 \(3\) 的价格买入水晶球，在 \(3\) 号城市以 \(5\) 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 \(2\) 。
阿龙也可以选择如下一条线路 \(1\)->\(4\)->\(5\)->\(4\)->\(5\)，并在第 \(1\) 次到达 \(5\) 号城市时以 \(1\) 的价格买入水晶球，在第 \(2\) 次到达 \(4\) 号城市时以 \(6\) 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 \(5\)。
现在给出 \(n\) 个城市的水晶球价格，\(m\) 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。
输入格式
第一行包含 \(2\) 个正整数 \(n\) 和 \(m\)，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。
接下来 \(m\) 行，每行有 \(3\) 个正整数 \(x,y,z\)，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 \(z=1\)，表示这条道路是城市 \(x\) 到城市 \(y\) 有之间的单向道路；如果 \(z=2\)，表示这条道路为城市 \(x\) 和城市 \(y\)之间的双向道路。
输出格式
一 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 \(0\)。
样例输入
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
样例输出
5
对于 100%的数据，\(1≤n≤100000\)，\(1≤m≤500000\)，\(1≤x\)，\(y≤n\)，\(1≤z≤2\)，\(1≤\)各城市，水晶球价格\(≤100\)。
dp味道很浓，一看却又无从下手，看到存在双向和单向边，果断先选择缩点，再进行观察。
去环以后形成一张DAG图，发现存在关系 \(dp[i]\) 表示前 \(i\) 个点的最大交易，有 \(dp[i]=max(dp[i],max_{scc-w} - min_{scc-w})\) 与当前的连通分量有很强的关系且 \(min\) 是可以传递的，简单的 \(dp\)。
Code.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=5e5+10;
int n,m,h[N],ne[M],e[M],w[N],idx,dfn[N],low[N],nowstep,stk[N],tt,id[N],din[N],maxx[N],minn[N],scc_cnt,f[N],x[M],y[M];
bool in_stk[N];
queue<int> q;
void add(int u,int v) {ne[++idx]=h[u],e[idx]=v,h[u]=idx;}
void tarjan(int u)
{
dfn[u]=low[u]=++nowstep;
stk[++tt]=u,in_stk[u]=1;
for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
{
int j=e[i];
if(!dfn[j])
{
tarjan(j);
low[u]=min(low[u],low[j]);
}
else if(in_stk[j]) low[u]=min(low[u],dfn[j]);
}
if(low[u]==dfn[u])
{
int y;
scc_cnt++;
do
{
y=stk[tt--];in_stk[y]=0;
id[y]=scc_cnt;
minn[scc_cnt]=min(minn[scc_cnt],w[y]);
maxx[scc_cnt]=max(maxx[scc_cnt],w[y]);
}while(y!=u);
}
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int opt,u,v;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&opt);
x[i]=u,y[i]=v;
if(opt==1) add(u,v);
else add(u,v),add(v,u);
}
for(int i=0;i<=n;i++) minn[i]=0x3f3f3f,maxx[i]=-0x3f3f3f;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
idx=0;memset(h,-1,sizeof h);
for(int i=1;i<=m;i++)
if(id[x[i]]!=id[y[i]]) add(id[x[i]],id[y[i]]),din[id[y[i]]]++;
q.push(id[1]);
f[id[1]]=max(f[id[1]],maxx[id[1]]-minn[id[1]]);
while(!q.empty())
{
int u=q.front();
q.pop();
for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
{
int j=e[i];din[j]--;
minn[j]=min(minn[j],minn[u]);
f[j]=max(f[j],max(maxx[j]-minn[j],f[u]));
if(!din[j]) q.push(j);
}
}
printf("%d",f[id[n]]);
return 0;
}
标签：int,题解,城市,NOIP2009,scc,道路,low,最优,水晶球 来源： https://www.cnblogs.com/EastPorridge/p/16376875.html