[luogu8331]简单题
作者:互联网
建立(广义)圆方树,并倍增维护答案信息(路径数和路径边权和)
显然答案信息可以支持合并,进而仅需求出同一个点双内两点的答案信息
结论:点双中存在两点$x,y$,使得整个点双恰由$x,y$间若干条不交的简单路径构成
对点双建立dfs树,并记$s$为简单环的边权和(修改边权前)
性质:若两条返祖边有交(指覆盖的树边),则交的边权和为$\frac{s}{2}$
引理:若一条返祖边同时与两条返祖边有交,则两个交相同
关于引理的证明,对这两个交分类讨论:
1.若这两个交无交,则树边边权和已经达到$s$,该返祖边边权$\le 0$,矛盾
2.若这两个交有交,则两者的交即为所交的两条返祖边的交,边权和同样为$\frac{s}{2}$
如果这两个交不同,必然有严格多于交的部分,该部分边权和$=0$,矛盾
根据此引理,对返祖边的情况分类讨论:
1.若不存在两条返祖边有交,此时的点双必然形如两点一边或环,均显然成立
2.若存在两条返祖边有交,则仅能添加若干个"套"在交上的环,取交的两个端点作为$x,y$即可
关于如何找到$x,y$,即度数$\ge 3$的两点(若不存在任选两点)
在此基础上,答案信息显然容易求出,视实现单次为$o(1)$或$o(\log n)$
总复杂度为$o(n+q\log n)$或$o(n\log n+q\log n)$,可以通过
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