基础拓扑习题与题解（一）

以下习题选自Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》（数学分析原理第三版）的第二章：基础拓扑（Basic Topology）习题集.

习题 7

令 A₁, A₂, A₃, ... 是度量空间 X 的子集. 记 B_n = ∪ _i=1.._n A_i，B = ∪ _i=1.._∞ A_i，求证：
(a) B^¬_n = ∪ _i=1.._n A^¬_i，n = 1, 2, 3, ^....
(b) B^¬ ⊃ ∪ _i=1.._∞ A^¬_i. 举例说明这里的包含可以是真包含.

 证明：先考虑 (a). 当 n = 1 时，B₁ = A₁，显然有 B^¬₁ = A^¬₁.
当 n = 2 时，B₂ = A₁ ∪ A₂，任取点 p ∈ A^¬₁ ∪ A^¬₂，若 p ∈ A₁ ∪ A₂，即 p ∈ B₂，则显然有 p ∈ B^¬₂；若 p ∉ A₁ ∪ A₂，不妨设 p ∈ A^¬₁ - A₁，即 p ∉ A₁ 但 p 是 A₁ 的极限点，由极限点的定义可知，p 也是 A₁ ∪ A₂ 的极限点，即有 p ∈ B^¬₂. 于是 A^¬₁ ∪ A^¬₂ ⊂ B^¬₂.
另一方面，任取 q ∈ B^¬₂，若 q ∈ B₂，则显然有 q ∈ A^¬₁ ∪ A^¬₂；若 q ∉ B₂，则 q 必然是 B₂ 的极限点，假设 q 既不是 A₁ 的极限点也不是 A₂ 的极限点，则存在 q 的某个邻域 N(q, r, X) 与 A₁ 以及与 A₂ 均无交点，即 N(q, r, X) ∩ B₂ = Φ，这与 q 是 B₂ 的极限点相矛盾，因此 q 要么是 A₁ 的极限点，要么是 A₂ 的极限点，即 q ∈ A^¬₁ ∪ A^¬₂. 于是 B^¬₂ ⊂ A^¬₁ ∪ A^¬₂. 
综上可知，n = 2 时，B^¬₂ = A^¬₁ ∪ A^¬₂. 

假设 n = k 时，B^¬_k = ∪ _i=1..k A^¬_i. 则 n = k + 1 时，有
∪ _i=1.._k+1 A^¬_i = B^¬_k ∪ A^¬_k+1.
利用 n = 2 的结论，有
B^¬_k ∪ A^¬_k+1 = (B_k ∪ A_k+1)^¬ = (B_k+1)^¬.
由数学归纳法，可知 (a) 成立.

考虑 (b). 任取 p ∈ ∪ _i=1..∞ A^¬_i，若 p ∈ B，则显然有 p ∈ B^¬；若 p ∉ B，则 p 必然是某个 A_i 的极限点，由极限点定义可知，p 也是 B 的极限点，即 p ∈ B^¬；因此有 B^¬ ⊃ ∪ _i=1.._∞ A^¬_i.

∪ _i=1.._∞ A^¬_i 可以是 B^¬ 的真子集，例如取 X = R¹，A_i =  (0, i / (i + 1))，i = 1, 2, 3, ^.... 此时，A^¬_i =  [0, i / (i + 1)]，尽管 1 是 ∪ _i=1.._∞ A^¬_i 的极限点，但 1 ∉ ∪ _i=1.._∞ A^¬_i；而 1 显然也是 B = ∪ _i=1.._∞ A_i 的极限点，故 1 ∈ B^¬.

习题 13

在 R¹ 中构造一个紧集 E 使得其全体极限点构成一个可数集.

分析与解：在 [0, 1] 中截取右半部分，即 [1/2, 1]，从中选取无限个离散点使得 1/2 是极限点，选取方法如下：
取 1/2 到 1 的中点，即 3/4，记为 p₁(1/2)；再取 1/2 到 3/4 的中点，即 5/8，记为 p₂(1/2)；再取 1/2 到 5/8 的中点，即 9/16，记为 p₃(1/2)；^.... 记 E₁ = {0, 1, 1/2, p₁(1/2), p₂(1/2), p₃(1/2), ^...}，E₁ 的唯一极限点为 1/2.

同样，在 [0, 1/2] 中截取右半部分，即 [1/4, 1/2]，从中选取无限个离散点使得 1/4 是极限点，方法同上，即取 1/4 到 1/2 的中点，即 3/8，记为 p₁(1/4)；再取 1/4 到 3/8 的中点，即 5/16，记为 p₂(1/4)；再取 1/4 到 5/16 的中点，即 9/32，记为 p₃(1/4)；^.... 记 E₂ = {0, 1/2, 1/4, p₁(1/4), p₂(1/4), p₃(1/4), ^...}，E₂ 的唯一极限点为 1/4.

...

取 E = ∪ _i=1.._∞ E_i. 每个 E_i 有一个极限点，且这些极限点都是 E 的极限点，此外这些极限点（1/2, 1/4, 1/8, ^...）又以 0 为极限点，E 的所有极限点都在 E 中，故 E 为闭集，E 显然是有界的，且 E ⊂ R¹，由 Heine-Borel 定理可知 E 是紧集. 综上，E 满足题设要求.

习题 15

定理 2.36 及其推论中，若把“紧集”换成“闭集”或“有界集”，则结论（比如，在 R¹ 中）不成立.

定理 2.36 的推论为：若 {K_n} 是一个非空紧集序列，且满足 K_n ⊃ K_n+1 (n = 1, 2, 3, ^...)，则这个序列的全体集合的交集 ∩ _n=1.._∞ K_n 不为空.

推论是定理 2.36 的特殊情形，推论在条件变更后不成立，则定理 2.36 在条件变更后同样不成立.

先考察把“紧集”换成“闭集”的情形，令 K_n = [n, ∞)，满足 K_n ⊃ K_n+1 (n = 1, 2, 3, ^...)，但 K = ∩ _n=1.._∞ K_n 为空. 这是因为，若有 p ∈ K，取 n = [p] + 1，则 p < n，即 p ∉ K_n，与假设矛盾.

再考察把“紧集”换成“有界集”的情形，令 K_n = (0, 1/n)，满足 K_n ⊃ K_n+1 (n = 1, 2, 3, ^...)，但 K = ∩ _n=1.._∞ K_n 为空. 这是因为，若有 p ∈ K，取 n > 1/p，则 p > 1/n，即 p ∉ K_n，与假设矛盾.

习题 17

E ⊂ [0, 1]，且对任意 x ∈ E，x 的小数部分只包含数字 4 和 7. 问：E 是可数的吗？E 在 [0, 1] 中稠密吗？E 是紧集吗？E 是完备集吗？

分析与解：(0, 1) 中的任意实数都可以表示成一个二进制序列，这个数的小数部分显然只包含数字 0 和 1. 把这个数的小数部分 0 换成 4，1 换成 7，就得到了 E 中的一个数. 反之亦然. 因此，E 是不可数的. 

E 中最小的数是 0.44^..4，最大的数是 0.77^..7，[0, 1] 的端点 0 和 1 显然不是 E 的极限点，因此，E 在 [0, 1] 中不是稠密的.

任取 x ∈ E，以及任意小的正实数 r，假设 r 的十进制小数表达式中小数点后有 m 个 0，那么把 x 的小数点后 m + 2 位的数字作翻转处理，即原来是 4 就变成 7，原来是 7 就变成 4，得到一个新数，记作 y， 则 y ∈ N(x, r, R) 且 y ∈ E.  这说明，E 上任意一点都是 E 的极限点.
还需要进一步考察 E 是否还存在其它极限点. 把 E 中某数 x 的小数点后第 k 位的数字 a_k 改为 4 和 7 以外的数字 b_k（比如 5），得到的新数记为 z，即 x = 0.a₁^...a_k-1a_ka_k+1^...，z = 0.a₁^...a_k-1b_ka_k+1^...，显然 z ∉ E. 不妨设 a_k = 4，b_k = 5，则 E 中距离 z 最近的数为 x₁ = 0.a₁^...a_k-1477^...7^.... 于是 
    |z - x₁| > 0.a₁^...a_k-15 - 0.a₁^...a_k-148 = 0.2·10^-k.
取 ε = 0.1·10^-k，则 N(z, ε, R) ∩ E 为空，即 z 不是 E 的极限点. 对于任意 w，若满足 w ∉ E 以及 0.44^..4 < w < 0.77^..7，找 w 的小数点后第一个不是 4 和 7 的数字位，用类似上面处理 z 的方法一样可知 w 不是 E 的极限点.
综上可知，E 是闭集，也是完备集. 而显然 E 是有界的，且 E ⊂ R¹，因此 E 又是紧集.

但 E 显然不是连通集，例如 0.5 满足 0.44^..4 < 0.5 < 0.77^..7，但 0.5 ∉ E. 事实上， E 中没有连通子集，即 E 中任意两个点都不是连通的.

习题 18

在 R¹ 中是否存在一个不含有有理数的完备集？

分析与解：习题 18 可以说是习题 17 的拓展. 习题 17 里的 E 是完备集，但含有有理数. 把 E 中的有理数全部剔除，得到一个新集合 E'，那 E' 还是完备集吗？

 以 x = 47/99 = 0.4747^...47^... 为例，取定任意小的正实数 r，假设 r 的小数点后有 m 个 0，那么任取 E' 中一个无理数 y，并把 y 的小数点后 2m 位替换成 4 和 7 交替形式（小数点后第一位为 4、第二位为 7、^...），得到的新数记为 z，显然有 z ∈ E'，且 |x - z| < r，因此 x 是 E' 的极限点，但 x ∉ E'，因此 E' 不是完备集.

另一个思路是对 E 中的全体点做整体平移，即为每一个点对应的数加上一个无理数常数 c（比如 π），就可以得到一个全是无理数的完备集 F，E 的任意一数 x，F 中对应的数为 x + c. 因此，此题的结论是肯定的. 这里，c 可以取很多值，比如 π、e、2^1/2 等，一个较为直观的情形是 取 c = 0.1010010001...，即小数点后第一位为1，隔一个 0 后再出现一个 1，后续逐次多隔一个 0 再出现一个 1，这样构造的 c 显然是一个无理数，若 x 为有理数，则 x + c 显然为无理数；若 x 为小数部分仅有 4 和 7 的无理数，则 x + c 会在 c 的小数数位为 1 的对应位置出现 5 或 8，显然还是无理数.

 

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来源： https://www.cnblogs.com/readalps/p/16303849.html