[数学基础] 7 欧拉函数
作者：互联网
欧拉函数
非常有用的欧拉函数！嗯……好像应该放在四大定理前讲的来着QAQ
1. 欧拉函数的定义
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定义\(\varphi(N)\)为\(1\)~\(N\)中与\(N\)互质的数，假设\(N\)可以表达为\(p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)，\(\forall i\in [1,k], p_i\)为质数，\(a_i>0\)
则\(\varphi(N)=N\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\)
特别的，规定\(\varphi(1)=1\)。（唯一和1互质的数就是1本身）
证明：容斥原理
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先去掉1~N中\(p_1\)的倍数，再去掉1~N中\(p_2\)的倍数，……直到去掉1~N中\(p_k\)的倍数。那么，此时答案就是
\[N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k} \] -
这个答案，将\(p_i\times p_j, (i,j\in[1,k], i\neq j)\)重复减去了多次，需要把它们加回来
\[N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}+\frac{N}{p_1p_2}+\frac{N}{p_1p_3}+...+\frac{N}{p_{k-1}p_k} \] -
考虑这样的三元组\(p_ap_bp_c\)，它们先是被1中的式子\(p_a,p_b,p_c\)减去了三次，又在2中的式子\(p_ap_b,p_ap_c,p_bp_c\)中加了三次，总体没加也没减。因此要把三元组的倍数从\(N\)中减去
\[N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}+\frac{N}{p_1p_2}+\frac{N}{p_1p_3}+...+\frac{N}{p_{k-1}p_k}-\frac{N}{p_1p_2p_3}-...-\frac{N}{p_{k-2}p_{k-1}p_{k}} \] -
以此类推，最终化简上面的式子，可得
\[N\times(1-\frac{1}{p_1}-...-\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_1p_2}+...+\frac{1}{p_{k-1}p_k}-...)\\=N\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k}) \]
- 时间复杂度：欧拉函数时间复杂度最大的地方在于分解质因数，因此时间复杂度为\(O(\sqrt N)\)。
欧拉函数模板
int phi(int x){
int res = x;
for (int i=2;(ll)i*i<=x;++i){
if (x % i == 0){
res = res / i * (i - 1);
while (x % i == 0) x /= i;
}
}
if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
2. 欧拉函数的性质
性质1
- \(\sum a=\frac{n\times \varphi(n)}{2}, n>1, a\in[1,n),(a,n)=1\)。
性质2
- \(\forall n>2,\varphi(n)\)为偶数。
证明：\(\because (n,x)=(n,n-x), n>x\)
假设\(\exist x\in[1,n)\)，\((n,x)=(n,n-x)=1,x=n-x, n>2\)，则\(n=2x\)，矛盾。
\(\therefore[1,n)\)中与\(n\)互质的数均是成对出现的，因此\([1,n)\)与\(n\)互质的数是偶数，即\(\varphi(n)\)为偶数。
观察\((n,x)=(n,n-x)=1\)，也说明了任意一对与\(n\)互质的数，相加均为\(n\)，所以有\(\sum a = \frac{n\times\varphi(n)}{2}\)
性质3
- \(\sum\limits _{d|n} \varphi(d)=n\)
设\(f(n)=\varphi * I=\sum\limits _{d|n}\varphi(d)\)，则\(f(n)\)为一个积性函数。
将\(n\)唯一分解为\(n= \prod_{i=1}^kp_i^{a_i} = p_1^{a_1}p_2^{a_2}..p_k^{a_k}\)，则
\(f(p_i^{a_i})=\varphi(1)+\varphi(p_i)+..+\varphi(p_i^{a_k})\\=1+(p-1)+..+(p^k-p^{k-1})=p^k\)
\(f(n)=f(p_1^{a_1})\times f(p_2^{a_2})\times ..\times f(p_k^{a_k})=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}=n\)，证毕。
性质4
- 欧拉函数为积性函数，但不是完全积性函数，当\((n,m)=1\)时，满足\(\varphi(m\times n)=\varphi(m)\times \varphi(n)\)。那么显然，当\(n\)唯一分解后，\(\varphi(n)=\prod_{i=1}^k\varphi(p_i^{a_i})\)。
证明：若\((n,m)=1\)，则\(n,m\)没有相同的质因子，记\(n\)的质因子个数为\(c_1\)，\(m\)的质因子个数为\(c_2\)，则
\(\varphi(n)\times \varphi(m)=n\times m\times \prod_{i=1}^{c_1}(1-\frac 1 {p_i})\times \prod_{i=1}^{c_2}(1-\frac 1 {p_i})=\prod_{i=1}^{c_1+c2}(1-\frac 1 {p_i})=\varphi(n\times m)\)
例题：cf776E The Holmes Children
性质5
- \(\frac {\varphi(n)} n=\sum\limits_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}\)。
写成狄利克雷卷积的形式
\(\varphi * I=id\)，\(\varphi * I * \mu=id * \mu\)
\(\varphi * (I * \mu)=id * \mu\)
\(\varphi*e=id*\mu\)
即\(\varphi(n)=\sum\limits _{d|n}\frac n d\times \mu(d)\)，也就是\(\frac {\varphi(n)} n=\sum\limits_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}\)
性质6
当\(n=p^k\)时，\(\varphi(n)=p^k-p^{k-1}\)
证明：当\(n\)只有一个质因数时，\(\varphi(n)=p^k\times(1-\frac 1 p)=p^k-p^{k-1}\)
3. 筛法求欧拉函数
假设目前已知\(\varphi(i)\)的值，\(p_j\)为某一质数，求\(\varphi(i\times p_j)\)的值。
将\(i\)表示为\(p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)，\(\varphi(i)=i\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\)，
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\(i\%p_j==0\)时，\(i\times p_j\)中不存在新的质因子
\(\therefore \varphi(i\times p_j)=i\times p_j\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})=\varphi(i)\times p_j\)
-
\(i\%p_j\neq 0\)时，\(p_j\)为新的质因子
\(\begin{align} & \therefore \varphi(i\times p_j)=i\times p_j\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\times (1-\frac{1}{p_j})\\ & =\varphi(i)\times p_j\times(1-\frac{1}{p_j})\\ & =\varphi(i)\times(p_j-1) \end{align}\)
- 代码
int n, cnt;
const int N = 1e6 + 10;
int E[N], p[N];
bool st[N];
void Eulers(){
E[1] = 1;
for (int i=2;i<=n;++i){
if (!st[i]){
p[++cnt] = i;
E[i] = i - 1;
}
for (int j=1;p[j]<=n/i;++j){
int t = p[j] * i;
st[t] = true;
if (i % p[j] == 0){
E[t] = E[i] * p[j];
break;
}
E[t] = E[i] * (p[j] - 1);
}
}
}
标签：frac,函数,int,varphi,times,mu,数学,欧拉 来源： https://www.cnblogs.com/vivaldi370/p/MathBasic_7_EulerFunction.html