Counting 1

这一部分主要是讲一些数数的东西
主要就是打表发现规律再实现这一些内容

Part 1 计数的原理

1.加法原理 &乘法原理

假设一个人穿衣服，有两种穿法:
\(1.\)从\(n\)件大衣中选一件穿上
\(2.\)从\(x\)条毛衣中选一件，再从\(y\)件羽绒服上选一件穿
问1和2的方案数
对于1，每一件大衣都是独立的一类，应当用加法原理得出方案数为\(n\)
对于2：
法一：所有的\(x\)相互独立，首先可以对每一个\(x_i\)用加法原理得出为\(y\)，然后再用加法原理得总数为\(xy\)
法二：显然的分步，直接乘法原理\(xy\)即可

加法原理适用于每一种决策都是独立的一类，乘法原理适用分步的情况

2.排列&组合

记\(A^n_m\)为\(m\)个数中选\(n\)个数组成排列的方案数
记\(C^n_m\)为\(m\)个数中选\(n\)个数组成组合的方案数

计算式：
\(A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}\)
\(C^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

算组合的时候，相同元素的不同排列视为同一种组合，这里容易出现算多或者算少的情况
注意可重与否，这里问题不大

3.容斥原理

可以画个\(Venn\)图方便理解一下
就是先找个全集，然后在全集里把不同情况划分成不同的集合，然后排除掉全集中不合法的集合
可能不合法的集合中某些集合存在交集，要把这些交集再加回来
可能上述多的交集里有些交集被加多了，然后再排除掉
......
容斥原理这一块答案多或少差不多都是多扣少扣这些，难以理解就画个\(Venn\)图

Part 2 特殊性质

1.二项式定理

\((a+b)^2=\sum\limits_{i=0}^{n} C^i_n a^{n-i} b^i\)
用这个式子可以出一些非常神仙的东西

2.组合数性质&二项式推论

1.\(C^m_n=C^{n-m}_n\)
把\(n\)选\(m\)变\(n\)排\(m\)，都是等价的转化
如果发现\(n\)和\(m\)的差值为常数可以变形成\(n\)取常数的组合数然后再化简

2.\(C^k_n=\frac{n}{k}C^{k-1}_{n-1}\)
这里是用计算式导出的递推式
没见过这么用的，先记一下

3.\(C^k_n=C^{k}_{n-1}+C^{k-1}_{n-1}\)
杨辉三角
尝试用这玩意优化但是失败了

4.\(\sum\limits_{i=0}^{n} C^i_n =2^n\)
二项式定理：取\(a=b=1\)即可
这玩意是非常好用的，不过也没见到

5.\(\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^i C^i_n =[n=0]\)
二项式定理：取\(a=1,b=-1\)即可
特殊情况就是\(n=0\)，原式为1

6.\(\sum\limits_{i=0}^{m} C^i_n C^{m-i}_m=C^{m+n}_{m},n\geqslant m\)
没见过，不太会证
好像是维护数据结构的一个非常快的东西

7.\(\sum\limits_{i=0}^{n} {C^i_n}^2 =C^{2n}_{n}\)
6的特殊情况，\(n=m\)时把后一项用1换掉就是这个式子

Part 3 常见类型处理

错排

\(f[n]=(n-1)(f[n-1]+f[n-2])\)
\(n-1\)递推，
第一种全部装错是\(f[n-1]\),第\(n\)项和前边随便换还是错排，乘法原理\((n-1)f[n-1]\)
第二种有一个对的是\((n-1)f[n-2]\)(分别让某一位对别的错就行),第\(n\)项和对的换就是错排，加法原理\((n-1)f[n-2]\)
再加法原理就是这个式子

圆排

断环成链有\(n\)种位置
所以1个圆排可以形成\(n\)个链排
直接用除法去重就是
\(Q^m_n=\frac{A^m_n}{m}=\frac{n!}{m·(n-m)!}\)

不相邻

\(C^k_{n-k+1}\)

标签：二项式,frac,limits,sum,加法,原理,Counting
来源： https://www.cnblogs.com/22222222STL/p/16248208.html