洛谷P4458 [BJOI2018]链上二次求和
作者:互联网
有一条长度为 \(n\) 的链(连接方式为 \(1-2-3-\cdots-n\)),第 \(i\) 个点的权值为 \(a_i\)。
有 \(m\) 个操作,分为修改和查询两类:
- 修改:将 \(u\) 到 \(v\) 路径上所有点的权值加上 \(d\)。
- 查询:对于所有包含 \(l\sim r\) 个点的路径计算上面的点的权值之和,再求总和,对 \(10^9+7\) 取模。
\(n\le 2\times10^5,m\le 5\times10^5\)
\(1\le u\le n,1\le v\le n,l\le r\le n\)
对于修改操作,差分一下即可 \(O(1)\) 解决。
难点在于如何处理查询。
记 \(a\) 的前缀和为 \(s\),\(s\) 的前缀和为 \(S\)。
需要对 \(S\) 进行区间求和,因此再做一次前缀和。
令 \({SS}_x=\sum\limits_{i=1}^xS_i\),则
现在的问题是如何求出 \({SS}_x\),或者说如何用差分数组 \(d_x=a_x-a_{x-1}\) 表示 \({SS}_x\)。
\(SS\) 实际上是由 \(d\) 求 4 次前缀和得到的,所以
\[{SS}_x=\sum_{i=1}^x\sum_{j=1}^i\sum_{k=1}^j\sum_{t=1}^kd_t \]变换求和顺序
\[{SS}_x=\sum_{t=1}^xd_t\sum_{i,j,k}[t\le k\le j\le i\le x] \]后面的求和式可以爆算一下,等于 \(\dfrac{(x+1-t)(x+2-t)(x+3-t)}6\)。
或者用组合计数的方法处理:
\(t\le k\le j\le i\le x\) 等价于 \(t\le k<j+1<i+2\le x+2\)。
求符合条件的 \(i,j,k\) 的组数,其实就是从 \(t\sim x+2\) 中选 3 个不同的整数,方案数为 \(C_{x-t+3}^3\) 。
将结果代回原式,得到
\[6SS_x=\sum_{i=1}^x(x+1-i)(x+2-i)(x+3-i)d_i \]大力展开
\[6SS_x=(x+1)(x+2)(x+3)\mathbf{\sum_{i=1}^xd_i}-(3x^2+12x+11)\mathbf{\sum_{i=1}^xid_i} +(3x+6)\mathbf{\sum_{i=1}^xi^2d_i}-\mathbf{\sum_{i=1}^xi^3d_i}\]用树状数组维护加粗的 4 个式子即可。
时间复杂度为 \(O(nk+mk\log n)\),这里 \(k=4\)。
标签:BJOI2018,le,洛谷,前缀,SS,P4458,求和,mathbf,sum 来源: https://www.cnblogs.com/REKonib/p/16226554.html