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$e^x\geqslant$$x$$+$$1$和 $x-1\geqslant\ln x$ 的来龙去脉和应用

作者:互联网

前言

【2022届高三数学二轮用题】 若函数 \(f(x)=\mathrm{e}^{x}-a x-1(a>0)\) 在 \(x=0\) 处取得极值。

(1)求 \(a\) 的值, 并判断该极值是函数的最大值还是最小值;

解: 因为 \(x=0\) 是函数的极值点, 所以 \(f^{\prime}(0)=0\),

因为 \(f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-a\), 所以 \(f^{\prime}(0)=1-a=0\), 解得 \(a=1\) 。

所以 \(f(x)=\mathrm{e}^{x}-x-1\), 易知 \(f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}-1\),

当 \(x \in(-\infty, 0)\) 时, \(f^{\prime}(x)<0\),当 \(x \in(0,+\infty)\) 时, \(f^{\prime}(x)>0\);

则 \(f(x)\) 在 \((-\infty, 0)\) 上单调递减, 在 \((0,+\infty)\) 上单调递增, 故极小值 \(f(0)\) 是函数的最小值。

(2)证明: \(1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{n}>\ln (n+1)\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)\).

证明: 由(1)知 \(\mathrm{e}^{x} \geqslant x+1\), 当且仅当 \(x=0\) 时, 等号成立;

给上式两边同时取对数,得到 \(x\geqslant\ln(x+1)\), 当且仅当 \(x=0\) 时, 等号成立,

赋值,令 \(x=\cfrac{1}{k}\) (\(k\in{N}^{*}\)), 则\(\cfrac{1}{k}>\ln(1+\cfrac{1}{k})\)由于 \(\cfrac{1}{k}\)\(\neq\)\(0\),故不等式不取等号,只取大于号。,即 \(\cfrac{1}{k}>\ln \cfrac{1+k}{k}\),

所以 \(\cfrac{1}{k}>\ln (1+k)-\ln k\)(\(k=1,2,\cdots,n)\),

令 \(k=1,2,\cdots,n\),则得到以下式子,

\(\cfrac{1}{1}>\ln2-\ln1\),

\(\cfrac{1}{2}>\ln3-\ln2\),

\(\cfrac{1}{3}>\ln4-\ln3\),

\(\cdots\),\(\cdots\)

\(\cfrac{1}{n}>\ln(n+1)-\ln n\),

以上 \(n\) 个式子累加,得 \(1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cdots+\cfrac{1}{n}>\ln (n+1)\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)\)。

标签:prime,来龙去脉,ln,cdots,geqslant,cfrac,mathrm
来源: https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/16217610.html