原函数，不定积分，定积分，变限积分的存在与关系

一个除了可导不对其进行任何额外的要求的函数的导函数，相对于一个一般的函数而言，有什么不同吗？我们可能会想到介值定理和导函数介值定理。施加于导函数上的介值定理和导函数介值定理之所以不等同，一定是因为后者可以获得更多的信息。那么，可以推知，导函数并不是一定连续的。很容易发现，振荡间断点是唯一可能满足导函数介质定理的间断点，也就是说导函数要么是连续的，要么在区间上拥有至少一个振荡间断点。反过来，我们就可以得到原函数存在定理。

不定积分是求得原函数的手段。所以原函数的存在，也就等同于不定积分的存在。不过，定积分则不同。它只需要更弱的条件。看起来这有点不太对，不过求一个定积分并不一定就要通过微积分第二基本定理的方法。一个可以破坏原函数的存在可能的可去间断点并不会破坏定积分的存在。在这里，一般讨论的只有非反常积分，而对于反常积分则是需要讨论起积分上下界的的无穷极限的敛散性。那么，定积分的存在便一定要求区间有界，而对于无穷间断点之外的其他三种间断点仅仅做要求其数量有限的要求。存在定积分，一般也被叫做可积。

变限积分函数仅仅是由定积分构成的函数，其存在性与定积分相同。然而，我们看到，定积分有着较弱的存在条件，然而微积分基本定理则要求被积函数区间内连续，可见当被积函数区间内不连续时，变限积分函数仍然存在，只不过其导函数将并不与被积函数处处相等，尽管大部分时候，差别并不大。而当被积函数区间内连续时，变限积分函数将是被积函数的一个原函数。

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