目录

• 第七讲 风险度量
  • 第一节 风险度量简述
    • 一、风险度量的定义
    • 二、风险度量的基本体系
  • 第二节 尾部风险度量
    • 一、重尾分布
    • 二、在险价值
    • 三、条件尾均值
    • 四、期望缺口和尾部在险价值
  • 第三节 扭曲风险度量
  • 第四节 案例

第七讲 风险度量

第一节 风险度量简述

一、风险度量的定义

一般来说，风险可以定量地描述为一个随机变量 \(X\) ，风险度量就是把风险转化为一个数值的过程，即在某一准则 \(\rho\) 下，给出风险 \(X\) 的相应的数值 \(\rho[X]\) 。

风险度量在精算中主要有如下的用途：

• 确定经济资本：经济资本又称为风险资本，即为了避免出现公司偿付能力不足而需要的资本。
• 决定保单的保费：保费是被保险人将风险转让给保险人时所需要支付的价格，对风险的适当评估是决定保费的关键。
• 内部风险管理：风险度量是内部风险管理的需要。
• 给出外部监管报告：风险度量是提交给相关监管部门关于偿付能力等报告的需要。

风险度量：如果 \(\rho\) 是一个实函数 \(\rho:X\to\mathbb{R}\) ，则称 \(\rho[X]\) 是某个风险 \(X\) 的风险度量。

• 由于保险风险的随机损失 \(X\) 是非负的，因此 \(\rho[X]\) 用于度量保险风险时要求其取值非负。
• 由于投资组合的收益可以是正的，也可以是负的，因此 \(\rho[X]\) 用于度量金融风险时取值可以为正，也可以为负。

基于均值、方差和标准差的保费计算原理均值传统的风险度量：

• \(\rho[X]=(1+\alpha)\mathbb{E}(X)\) ；
• \(\rho(X)=\mathbb{E}(X)+\alpha{\rm Var}(X)\) ；
• \(\rho[X]=\mathbb{E}(X)+\alpha\sqrt{{\rm Var}(X)}\) 。

这些度量指标只能一定程度上反映风险的特征，难以全面综合地度量风险。

注意：保费计算原理是一种特殊的风险度量，但保费计算原理一般要求 \(\Pi[X]\) 略大于 \(\mathbb{E}(X)\) ，而风险度量则没有这个约束。

二、风险度量的基本体系

对于风险度量过程中需要遵循的原则，目前较为完备的风险度量原则体系主要是 ADEH 体系，即一致性风险度量体系——将风险度量看作是对资本需求的度量，即在一定时期内企业至少应储备多大的资本量来满足企业的安全保障要求。

ADEH 体系包括如下原则：

1. 次可加性：\(\rho[X+Y]\leq\rho[X]+\rho[Y]\) 。

   意义：两个风险组合的总体风险水平不会超过它们单个风险水平之和。

2. 单调性：如果在任意情况下都有 \(X\leq Y,\ {\rm a.s.}\) ，则有 \(\rho[X]\leq \rho[Y]\) 。

   意义：在所有可能的结果下，如果一种风险造成的损失较大，则它的风险水平就应该更高。

3. 正齐次性：对 \(\forall c>0\) ，均有 \(\rho[cX]=c\rho[X]\) 。

   意义：对于金融风险度量而言，不应受计量单位的影响。

4. 平移不变性：对任意的确定损失 \(C\) ，均有 \(\rho[X+C]=\rho[X]+C\) 。

   意义：风险 \(X\) 在增加一个确定的损失值后，其风险水平也会增加一个相等的确定值。

如果一个风险度量函数满足 ADEH 体系的要求，即次可加性、单调性、正齐次性和平移不变性，那么这个风险度量函数就可以称为一致性风险度量。ADEH体系通常被称为风险度量的一致性原则。

(1) 证明：如果风险度量 \(\rho(\cdot)\) 满足正齐次性，即 \(\rho[cX]=c\rho[X]\) ，则有 \(\rho[0]=0\) 。

(2) 证明：如果风险度量满足单调性和正齐次性，则对于任意风险 \(X\geq0,\ {\rm a.s.}\) ，都有 \(\rho[X]\geq0\) 。

(1) 对 \(\forall a\geq0\) ，有 \(\rho[0]=\rho[a\times 0]=a\rho[0]\) 。由 \(a\) 的任意性可知 \(\rho[0]=0\) 。

(2) 如果 \(X\geq0,\ {\rm a.s.}\) ，则有 \(\rho[X]\geq\rho[0]=0\) 。

证明：均值保费原理 \(\rho[X]=(1+\alpha)\mathbb{E}(X)\) 不是一致性风险度量，但满足次可加性、单调性和正齐次性。

(1) 次可加性：

\[\begin{aligned} \rho[X+Y]&=(1+\alpha)\mathbb{E}(X+Y) \\ \\ &=(1+\alpha)\mathbb{E}(X)+(1+\alpha)\mathbb{E}(Y) \\ \\ &=\rho[X]+\rho[Y]. \end{aligned} \]

(2) 单调性：如果 \(X\leq Y,\ {\rm a.s.}\) ，则有 \(\mathbb{E}(X)\leq\mathbb{E}(Y)\) ，所以有 \(\rho[X]\leq\rho[Y]\) 。

(3) 正齐次性：对 \(\forall c>0\) ，均有

\[\rho[cX]=(1+\alpha)\mathbb{E}(cX)=c(1+\alpha)\mathbb{E}(X)=c\rho[X]. \]

(4) 不满足平移不变性：对任意的确定损失 \(C\) ，均有

\[\rho[X+C]=(1+\alpha)\mathbb{E}[X+C]=\rho[X]+(1+\alpha)C>\rho[X]+C. \]

第二节 尾部风险度量

一、重尾分布

无论是金融还是保险，业界最关心的是尾部的风险大小。因此，风险尾部的变化规律是风险度量研究的一个重点。

重尾分布：关于损失分布是不是重尾没有特别明确的定义，一般矩存在的情况决定了重尾的状况。

例如：利用矩存在的情况比较 \(\Gamma\) 分布和 Pareto 分布的尾部。

• 假设随机变量 \(X\) 服从 \(\Gamma(\theta,\beta)\) 分布，则 \(X\) 的任意阶矩都存在，说明对 \(\Gamma\) 分布来说，尾部概率趋于 \(0\) 的速度比较快，因此 \(\Gamma\) 分布是轻微分布。
• 假设随机变量 \(Y\) 服从 \(P(\alpha,\gamma)\) 分布，如果 \(\alpha<2\) ，则 \(Y\) 的二阶矩不存在，即 Pareto 分布的方差不存在，说明 \(P(\alpha,\gamma)\) 分布比 \(\Gamma(\theta,\beta)\) 分布的尾部更重。

一般采用生存函数的比的极限来确定两个分布尾部的比较。即假设随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的生存函数分别为 \(S_1(x)\) 和 \(S_2(x)\) ，相应的密度函数为 \(f_1(x)\) 和 \(f_2(x)\) ，则有

\[k\equiv\lim_{x\to\infty}\frac{S_1(x)}{S_2(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f_1(x)}{f_2(x)}. \]

• 若极限 \(k=0\) ，则 \(f_1(x)\) 比 \(f_2(x)\) 尾部更轻；
• 若极限 \(k=\infty\) ，则 \(f_1(x)\) 比 \(f_2(x)\) 尾部更重；
• 若极限 \(k=c,\ 0<c<\infty\) ，则 \(f_1(x)\) 与 \(f_2(x)\) 尾部等价。

例如：利用生存函数比较 \(\Gamma\) 分布和 Pareto 分布的尾部。

假设 \(Y\sim P(\alpha,\gamma)\) 和 \(X\sim \Gamma(\theta,\beta)\) ，其密度函数分别为 \(f_1(x)\) 和 \(f_2(x)\) ，则

\[k=\lim_{x\to\infty}\frac{f_1(x)}{f_2(x)}=\alpha\gamma^\alpha\Gamma(\theta)\beta^\theta\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x/\beta}}{(x+\gamma)^{\alpha+1}x^{\theta-1}}\to\infty, \]

说明 \(P(\alpha,\gamma)\) 分布比 \(\Gamma(\theta,\beta)\) 分布的尾部更重。

二、在险价值

在险价值（Value at Risk）：

• 在正常市场条件和一定置信水平下，测算出在给定的时间段内预期发生的最坏情况的损失大小。

• 假设风险 \(X\) 具有分布函数 \(F_X(\cdot)\) ，对于给定的 \(\alpha,\ 0<\alpha<1\) ，在险价值 \({\rm VaR}_{\alpha}(X)\) 定义为

  \[{\rm VaR}_{\alpha}(X)=\inf\{x:F_X(x)\geq\alpha\}, \]

  其中 \(\alpha\) 通常是一个接近于 \(1\) 的值。

• 从概率论的角度来看，在险价值 \({\rm VaR}\) 即为风险 \(X\) 的分布函数的逆函数，称为分位数。

定理：在险价值 \({\rm VaR}_{\alpha}(X)\) 满足单调性、正齐次性和平移不变性，但不满足次可加性，所以 \({\rm VaR}_{\alpha}(X)\) 不是一致性风险度量。

(1) 单调性：对于任意的 \(X\leq Y,\ {\rm a.s.}\) ，有

\[{\rm Pr}(X\leq {\rm VaR}_\alpha(Y))\geq{\rm Pr}(Y\leq{\rm VaR}_\alpha(Y))\geq\alpha. \]

所以

\[{\rm VaR}_\alpha(X)\leq {\rm VaR}_\alpha(Y). \]

(2) 正齐次性：对 \(\forall c>0\) ，有

\[\begin{aligned} {\rm VaR}_\alpha(cX)&=\inf\{y:{\rm Pr}(cX\leq y)\geq\alpha\} \\ \\ &=\inf\{cx:{\rm Pr}(cX\leq cx)\geq\alpha\} \\ \\ &=\inf\{cx:{\rm Pr}(X\leq x)\geq\alpha\} \\ \\ &=c\inf\{x:{\rm Pr}(X\leq x)\geq\alpha\} \\ \\ &=c{\rm VaR}_\alpha(X). \end{aligned} \]

(3) 平移不变性：对于任意的确定损失 \(c>0\) ，有

\[\begin{aligned} {\rm VaR}_\alpha(X+c)&=\inf\{y:{\rm Pr}(X+c\leq y)\geq\alpha\} \\ \\ &=\inf\{x+c:{\rm Pr}(X+c\leq x+c)\geq\alpha\} \\ \\ &=\inf\{x+c:{\rm Pr}(X\leq x)\geq\alpha\} \\ \\ &=c+\inf\{x:{\rm Pr}(X\leq x)\geq\alpha\} \\ \\ &=c+{\rm VaR}_\alpha(X). \end{aligned} \]

(4) 不满足次可加性。反例如下：

假设风险 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立服从 \(P(1,1)\) 分布，对于 \(0<\alpha<1\) ，我们有

\[{\rm VaR}_\alpha(X)+{\rm VaR}_\alpha(Y)<{\rm VaR}_\alpha(X+Y). \]

记 \(P(1,1)\) 分布的密度函数和分布函数为

\[f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}, \quad F(x)=1-\frac{1}{1+x},\quad x>0. \]

所以风险 \(X\) 和 \(Y\) 的风险价值为

\[{\rm VaR}_\alpha(X)={\rm VaR}_\alpha(Y)=\frac{\alpha}{1-\alpha}. \]

设 \(Z=X+Y\) 利用卷积公式求 \(Z\) 的分布函数为

\[\begin{aligned} F*F(z)&=\int_{-\infty}^\infty F(z-x){\rm d}F(x) \\ \\ &=\int_0^z \left(1-\frac{1}{1+z-x}\right)\frac{1}{(x+1)^2}{\rm d}x \\ \\ &=\frac{z}{z+2}-\frac{2}{(z+2)^2}\ln(z+1), \quad z>0. \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} {\rm Pr}\left(Z\leq\frac{2\alpha}{1-\alpha}\right)=\alpha-\frac{(1-\alpha)^2}{2}\ln\left(\frac{1+\alpha}{1-\alpha}\right)<\alpha. \end{aligned} \]

所以

\[{\rm VaR}_\alpha(Z)>\frac{2\alpha}{1-\alpha}={\rm VaR}_\alpha(X)+{\rm VaR}_\alpha(Y). \]

定理：正态分布 \({\rm VaR}\) 的次可加性 \((0.5<\alpha<1)\) 。

风险 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，分别服从 \(N(\mu_1,\sigma_1^2)\) 和 \(N(\mu_2.\sigma_2^2)\) ，则 \(X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)\) ，所以对于任意的 \(0.5<\alpha<1\) ，有 \(\Phi^{-1}(\alpha)>0\) ，且有

\[\begin{aligned} {\rm VaR}_\alpha(X+Y)&=\mu_1+\mu_2+\Phi^{-1}(\alpha)\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2} \\ \\ &\leq\mu_1+\mu_2+\Phi^{-1}(\alpha)(\sigma_1+\sigma_2) \\ \\ &=\left[\mu_1+\Phi^{-1}(\alpha)\sigma_1\right]+\left[\mu_2+\Phi^{-1}(\alpha)\sigma_2\right] \\ \\ &={\rm VaR}_\alpha(X)+{\rm VaR}_\alpha(Y). \end{aligned} \]

定理：\(t\) 分布 \({\rm VaR}\) 的次可加性。

风险 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，分别服从 \(t(n)\) 和 \(t(m)\) 分布，

• 如果 \(\alpha=0.5\) ，则 \({\rm VaR}_\alpha(X+Y)={\rm VaR}_\alpha(X)+{\rm VaR}_\alpha(Y)\) 。

• 如果 \(m=n=1\) ，对于任意的 \(0<\alpha<1\) ，\({\rm VaR}_\alpha(X+Y)={\rm VaR}_\alpha(X)+{\rm VaR}_\alpha(Y)\) 。

• 如果 \(m\geq1,\ n\geq1\) ，对于任意的 \(0.5<\alpha<1\) ，除 \(m=n=1\) 外，均有

\[{\rm VaR}_\alpha(X+Y)<{\rm VaR}_\alpha(X)+{\rm VaR}_\alpha(Y). \]

• 如果 \(m\geq1,\ n\geq1\) ，对于任意的 \(0<\alpha<0.5\) ，除 \(m=n=1\) 外，均有

\[{\rm VaR}_\alpha(X+Y)>{\rm VaR}_\alpha(X)+{\rm VaR}_\alpha(Y). \]

定理：不加证明给出在险价值 \({\rm VaR}_{\alpha}(X)\) 的下列性质：

(1) 无敲诈性：对于给定的 \(\alpha,\ 0<\alpha<1\) ，

\[{\rm VaR}_\alpha(X)\leq \max[X]. \]

(2) 没有不合理的附加费用：如果 \(X=C,\ {\rm a.s.}\) ，则

\[{\rm VaR}_\alpha(X)=C. \]

(3) 关于 \(\alpha\) 非降：如果 \(0<\alpha<\beta<1\) ，则

\[{\rm VaR}_\alpha(X)\leq{\rm VaR}_\beta(X). \]

(4) 保费原理的连续性：如果 \(F_n\to F\) 依分布收敛，则有

\[{\rm VaR}_\alpha(F_n)\to{\rm VaR}_\alpha(F). \]

(5) 同变可加性：如果 \((X_1,X_2,\cdots,X_d)\) 是 comonotonic ，则有

\[{\rm VaR}_\alpha(X_1+X_2+\cdots+X_d)={\rm VaR}_\alpha(X_1)+{\rm VaR}_\alpha(X_2)+\cdots+{\rm VaR}_\alpha(X_d). \]

(6) 不满足附加保费非负性，即 \({\rm VaR}_\alpha(X)\geq\mathbb{E}(X)\) 不一定成立。

同变可加性：对于任意的随机向量 \((X_1,X_2,\cdots,X_d)\) ，其边际分布分别为 \((F_1,F_2,\cdots,F_d)\) ，则称

\[Y=\left(F_1^{-1}(U),F_2^{-1}(U),\cdots,F_d^{-1}(U)\right) \]

具有同变性，其中 \(U\) 为均匀分布 \(U(0,1)\) 。

此时 \(Y\) 与 \(X\) 具有相同的边际

\[{\rm Pr}\left(X_i\leq x\right)={\rm Pr}\left(F_i^{-1}(U)\leq x\right)={\rm Pr}\left(U\leq F_i(x)\right)=F_i(x),\quad i=1,2,\cdots,d. \]

证明 \({\rm VaR}\) 的同变可加性：

首先证明，对于任意单调增的函数 \(f\) ，对于任意的随机变量 \(Z\) ，都有

\[{\rm VaR}_\alpha(f(Z))=f\left({\rm VaR}_\alpha(Z)\right). \]

由 \({\rm VaR}\) 的定义可知

\[\begin{aligned} {\rm VaR}_\alpha(f(Z))&=\inf_x\left\{x|{\rm Pr}(f(Z)\leq x)\geq\alpha\right\} \\ \\ &=\inf_y\left\{f(y)|{\rm Pr}(f(Z)\leq f(y))\geq\alpha\right\} \\ \\ &=\inf_y\left\{f(y)|{\rm Pr}(f(Z)\leq f(y))\geq\alpha\right\} \\ \\ &=\inf_y\left\{f(y)|{\rm Pr}(Z\leq y)\geq\alpha\right\} \\ \\ &=f({\rm VaR}_\alpha(Z)). \end{aligned} \]

成本最优的风险度量问题：

• Consider a portfolio with loss \(X\) .

• The regulator measure the shortfall risk as \(\mathbb{E}\left[X-\rho[X]\right]_+\) .

• The process of setting capital requirment requires two different risk measures: the risk measure to determine the solvency capital, and \(\mathbb{E}\left[X-\rho[X]\right]_+\) to measure the shortfall.

• The regulator wants \(\mathbb{E}\left[X-\rho[X]\right]_+\) to be sufficiently small, but holding capital has a cost \(\rho[X]\varepsilon\) .

• So, the capital requirement could be determined as the solution to the following minimization problem:

  \[\min_{\rho[\cdot]}\left\{\mathbb{E}\left[X-\rho[X]\right]_++\rho[X]\varepsilon\right\},\quad 0<\varepsilon<1. \]

定理：The smallest capital \(\rho[\cdot]\) that is a solution of the following equation

\[\min_{\rho[\cdot]}\left\{\mathbb{E}\left[X-\rho[X]\right]_++\rho[X]\varepsilon\right\},\quad 0<\varepsilon<1. \]

is the \({\rm VaR}\) , that is

\[\rho[X]={\rm VaR}_{1-\varepsilon}(X). \]

Let us introduce the cost function

\[C[X,d]=\mathbb{E}[X-d]_++d\varepsilon, \]

and assume that \({\rm VaR}_{1-\varepsilon}(X)>0\) . Then we have

\[C[X,d]=\int_d^\infty(x-d){\rm d}F(x)+d\varepsilon=\int_d^\infty\bar{F}(x){\rm d}x+d\varepsilon. \]

From the first order condition, we can obtain

\[\frac{\mathrm{d}C[X,d]}{{\rm d}d}=-\bar{F}(d)+\varepsilon=0 \quad \Longrightarrow \quad \hat d={\rm VaR}_{1-\varepsilon}(X). \]

三、条件尾均值

条件尾均值（Conditional Tail Expectation）：对于给定的 \(\alpha,\ 0<\alpha<1\) ，条件尾均值 \({\rm CTE}_\alpha(X)\) 定义如下：

• 假设风险 \(X\) 具有连续的分布函数 \(F_X(\cdot)\) ，则

  \[{\rm CTE}_\alpha(X)=\mathbb{E}\left[X|X>{\rm VaR}_\alpha(X)\right]. \]

• 假设风险 \(X\) 的分布函数 \(F_X(\cdot)\) 不连续，则

  \[{\rm CTE}_\alpha(X)=\frac{(\beta-\alpha){\rm VaR}_\alpha(X)+(1-\beta)\mathbb{E}\left[X|X>{\rm VaR}_\alpha(X)\right]}{1-\alpha}, \]

  其中 \(\beta=\sup\left\{\delta:{\rm VaR}_\alpha(X)={\rm VaR}_\delta(X)\right\}\) 。

引理：设随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\) 。如果对某个 \(x\) ，事件 \(A\) 和 \(X>x\) 发生的概率相等，即

\[{\rm Pr}(A)={\rm Pr}(X>x)=\bar{F}(x), \]

则分别在 \(A\) 和 \(X>x\) 的条件下，条件均值满足如下不等式

\[\mathbb{E}(X|A)\leq\mathbb{E}(X|X>x). \]

\[\begin{aligned} \mathbb{E}(X|X>x)&=x+\mathbb{E}(X-x|X>x,A){\rm Pr}(A|X>x) \\ \\ &\quad \, +\;\mathbb{E}(X-x|X>x,\bar{A}){\rm Pr}(\bar{A}|X>x) \\ \\ &\geq x+\mathbb{E}(X-x|X>x,A){\rm Pr}(A|X>x) \\ \\ &=x+\mathbb{E}(X-x|X>x,A){\rm Pr}(X>x|A) \\ \\ &=x+\mathbb{E}(X-x|X>x,A){\rm Pr}(X>x|A) \\ \\ &\quad \, +\;\mathbb{E}(X-x|X\leq x,A){\rm Pr}(X\leq x|A) \\ \\ &=\mathbb{E}(X|A). \end{aligned} \]

定理：对连续风险变量的 \({\rm CTE}\) 是次可加的。如果风险变量 \(X\) 和 \(Y\) 具有连续的边际分布函数和联合分布函数，则 \({\rm CTE}\) 是次可加的。

对于任意的连续风险变量 \(X\) ，有 \({\rm Pr}(X>{\rm VaR}_\alpha(X))=1-\alpha\) ，所以

\[\begin{aligned} {\rm CTE}_\alpha(X+Y)&=\mathbb{E}[X+Y|X+Y>{\rm VaR}_\alpha(X+Y)] \\ \\ &=\mathbb{E}[X|X+Y>{\rm VaR}_\alpha(X+Y)]+\mathbb{E}[Y|X+Y>{\rm VaR}_\alpha(X+Y)] \\ \\ &\leq\mathbb{E}\left[X|X>{\rm VaR}_\alpha(X)\right]+\mathbb{E}\left[Y|Y>{\rm VaR}_\alpha(Y)\right] \\ \\ &={\rm CTE}_\alpha(X)+{\rm CTE}_\alpha(Y). \end{aligned} \]

其中，令事件 \(A=\{X+Y>{\rm VaR}_\alpha(X+Y)\}\) ，则有

\[{\rm Pr}(A)=1-\alpha={\rm Pr}(X>{\rm VaR}_\alpha(X))={\rm Pr}(Y>{\rm VaR}_\alpha(Y)). \]

利用前面的引理得出上式中的不等号。

四、期望缺口和尾部在险价值

注意到 \({\rm VaR}\) 本身并没有讲述关于风险的整个故事，因为如果理赔额 \(X\) 超过了可用基金 \(d\) ，仍然需要有人支付剩余的 \((S-d)_+\) 。

期望缺口（Expected Shortfall）：对于风险 \(X\ (X>0)\) ，在水平 \(0<\alpha<1\) 时的期望缺口定义为

\[{\rm ES}_\alpha(X)=\mathbb{E}\left[X-{\rm VaR}_\alpha(X)\right]_+. \]

在精算中，可以将 \({\rm ES}_\alpha(X)\) 理解为免赔额为 \({\rm VaR}_\alpha(X)\) 的停止损失保费。

注意到 \({\rm VaR}\) 不一定满足次可加性，因此我们基于高水平的 \({\rm VaR}\) 的平均，定义了一个具有次可加性的风险度量。

尾部在险价值（Tail Value at Risk）：对于风险 \(X\ (X>0)\) ，在水平 \(0<\alpha<1\) 时的 \({\rm TVaR}\) 定义为

\[{\rm TVaR}_\alpha(X)=\frac1{1-\alpha}\int_\alpha^1{\rm VaR}_t(X){\rm d}t. \]

所以，\({\rm TVaR}\) 恰好是 \(X\) 从水平 \(\alpha\) 开始的 \({\rm VaR}\) 的算术平均。

定理：任意风险的 \({\rm TVaR}\) 都是次可加的。对任意的风险变量 \(X\) 和 \(Y\) 和水平 \(0<\alpha<1\) ，\({\rm TVaR}\) 都是次可加的，即

\[{\rm TVaR}_\alpha(X+Y)\leq {\rm TVaR}_\alpha(X)+{\rm TVaR}_\alpha(Y). \]

定理：对于风险 \(X\) 和给定的 \(\alpha,\ 0<\alpha<1\) ，\({\rm TVaR}\) 可以由 \({\rm VaR}\) 和 \({\rm ES}\) 表示为

\[\begin{aligned} {\rm TVaR}_\alpha(X)&={\rm VaR}_\alpha(X)+\frac1{1-\alpha}\int_\alpha^1\left[{\rm VaR}_t(X)-{\rm VaR}_\alpha(X)\right]{\rm d}t \\ \\ &={\rm VaR}_\alpha(X)+\frac1{1-\alpha}{\rm ES}_\alpha(X). \end{aligned} \]

定理：对于风险 \(X\) 和给定的 \(\alpha,\ 0<\alpha<1\) ，记 \(d={\rm VaR}_\alpha(X)\) ，\({\rm CTE}\) 可以由 \({\rm VaR}\) 和 \({\rm ES}\) 表示为

\[\begin{aligned} {\rm CTE}_\alpha(X)&=\mathbb{E}\left[X|X>d\right] \\ \\ &=d+\mathbb{E}\left[(X-d)_+|X>d\right] \\ \\ &=d+\frac{\mathbb{E}\left[(X-d)_+\right]}{{\rm Pr}(X>d)} \\ \\ &={\rm VaR}_\alpha(X)+\frac{1}{1-F_X({\rm VaR}_\alpha(X))}{\rm ES}_\alpha(X). \end{aligned} \]

由此可知，\({\rm CTE}\) 和 \({\rm TVaR}\) 只有当 \(\alpha<F_X({\rm VaR}_\alpha(X))\) 时不同，即 \(F_X\) 在水平 \(\alpha\) 处有跳跃，故有

\[{\rm CTE}_\alpha(X)={\rm TVaR}_{F_X({\rm VaR}_\alpha(X))}\geq{\rm TVaR}_\alpha(X)\geq{\rm VaR}_\alpha(X). \]

第三节 扭曲风险度量

定理：生存函数的性质。随机变量 \(X\ (X>0)\) ，其生存函数为 \(S(x)=1-F(X)\) ，则其均值为

\[\mathbb{E}(X)=\int_0^\infty x{\rm d}F(x)=\int_0^\infty S(x){\rm d}x. \]

扭曲风险度量：对于风险 \(X\ (X>0)\) ，其生存函数为 \(S(x)=1-F(X)\) ，则其扭曲风险度量为

\[H(X)=\int_0^\infty g(S(x)){\rm d}x. \]

其中，\(g(\cdot)\) 是单调函数，称为扭曲函数，且满足 \(g(0)=0,\ g(1)=1\) 。

下面我们给出几个扭曲函数的例子，以及对应的扭曲风险度量。

(1) 如果 \(g(\cdot)\) 如下所示，则 \(H(X)={\rm VaR}_\alpha(X)\) ，

\[g(S(x))=\left\{\begin{array}{ll} 0 , & 0\leq S(x)\leq 1-\alpha, \\ \\ 1 , & 1-\alpha<S(x)\leq 1. \end{array}\right. \]

(2) 如果 \(g(\cdot)\) 如下所示，则 \(H(X)={\rm CTE}_\alpha(X)\) ，

\[g(S(x))=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{S(x)}{1-\alpha} , & 0\leq S(x)\leq 1-\alpha, \\ \\ 1 , & 1-\alpha<S(x)\leq 1. \end{array}\right. \]

(3) 如果 \(g(\cdot)\) 如下所示，则 \(H(X)\) 称为比例风险变换

\[g(S(x))=\left(S(x)\right)^{1/\kappa},\quad \kappa\geq1. \]

(4) The Dual Power Tranform:

\[g(S(x))=1-\left(1-S(x)\right)^\kappa. \]

(5) Wang's Transform:

\[g(S(x))=\Phi\left(\Phi^{-1}(S(x))+\kappa\right). \]

第四节 案例

离散型随机变量 \({\rm VaR}\) 的计算：风险 \(L\) 是个离散型随机变量，其分布列如下所示

\[\begin{aligned} &{\rm Pr}(L=0)=0.85,\quad {\rm Pr}(L=10)=0.1,\\ \\ &{\rm Pr}(L=50)=0.045 ,\quad {\rm Pr}(L=100)=0.005. \end{aligned} \]

计算 \(\alpha=0.80,0.90,0.95,0.975,0.999\) 的 \({\rm VaR}\) 值。

由此可得

\[F_L(0)=0.85,\quad F_L(10)=0.95,\quad F_L(50)=0.995,\quad F_L(100)=1. \]

计算分位数 \({\rm VaR}_\alpha(L)=\inf\{x|F_L(x)\geq\alpha\}\) 可得

\[\begin{aligned} &{\rm VaR}_{0.80}(L)=0,\quad {\rm VaR}_{0.90}(L)=10,\quad {\rm VaR}_{0.95}(L)=10,\quad \\ \\ &{\rm VaR}_{0.975}(L)=50,\quad {\rm VaR}_{0.999}(L)=100.\quad \end{aligned} \]

离散型随机变量 \({\rm CTE}\)​ 的计算：风险 \(L\) 是个离散型随机变量，其分布列如下所示

\[\begin{aligned} &{\rm Pr}(L=0)=0.90,\quad {\rm Pr}(L=100)=0.06,\quad {\rm Pr}(L=1000)=0.04. \end{aligned} \]

计算 \(\alpha=0.90,0.95\) 的 \({\rm CTE}\) 值。

由此可得

\[F_L(0)=0.90,\quad F_L(100)=0.96,\quad F_L(1000)=1. \]

所以 \(\alpha=0.90,0.95\) 的 \({\rm VaR}\) 值为

\[{\rm VaR}_{0.90}(L)=0,\quad {\rm VaR}_{0.95}(L)=100. \]

(1) 计算 \({\rm CTE}_{0.90}(L)\) ：

\[\begin{aligned} &\beta=\sup\{\delta:{\rm VaR}_\delta(X)={\rm VaR}_{0.90}(X)=0\}=0.90, \\ \\ &\mathbb{E}[X|X>{\rm VaR}_{0.90}(X)]=\mathbb{E}[X|X>0]=\frac{0.06\times100+0.04\times1000}{0.10}=460. \\ \\ &\begin{aligned}{\rm CTE}_{0.90}(X)&=\frac{(\beta-\alpha){\rm VaR}_\alpha(X)+(1-\beta)\mathbb{E}[X|X>{\rm VaR}_\alpha(X)]}{1-\alpha} \\ \\ &=\mathbb{E}[X|X>{\rm VaR}_\alpha(X)] \\ \\ &=460. \end{aligned} \end{aligned} \]

(2) 计算 \({\rm CTE}_{0.95}(L)\) ：

\[\begin{aligned} &\beta=\sup\{\delta:{\rm VaR}_\delta(X)={\rm VaR}_{0.95}(X)=100\}=0.96, \\ \\ &\mathbb{E}[X|X>{\rm VaR}_{0.95}(X)]=\mathbb{E}[X|X>100]=1000. \\ \\ &\begin{aligned}{\rm CTE}_{0.90}(X)&=\frac{(\beta-\alpha){\rm VaR}_\alpha(X)+(1-\beta)\mathbb{E}[X|X>{\rm VaR}_\alpha(X)]}{1-\alpha} \\ \\ &=\frac{0.01\times100+0.04\times1000}{0.05}\\ \\ &=820. \end{aligned} \end{aligned} \]

扭曲风险度量的计算：假设 \(X\sim P(\gamma,\theta)\) ，计算 \(H(X)\) 为风险 \(X\) 的比例风险变换。

由 Pareto 分布的分布函数和生存函数可得

\[g(S(x))=\left(\frac{\theta}{\theta+x}\right)^{\gamma/\kappa}, \]

其比例风险变换为

\[H(X)=\int_0^\infty g(S(x)){\rm d}x=\frac{\theta}{\frac{\gamma}{\kappa}-1},\quad \gamma>\kappa. \]

扭曲风险度量的计算：假设风险 \(X\) 服从对数正态分布 \(LN(\mu,\sigma^2)\) ，证明采用 Wang's Transform 给出的扭曲风险度量是对数正态分布 \(LN(\mu+\kappa\sigma,\sigma^2)\) 的均值。

由 \(X\sim LN(\mu,\sigma^2)\) 可知，\(\ln X\sim N(\mu,\sigma^2)\) ，相应的生存函数为

\[S(x)=1-\Phi\left(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right). \]

记 \(Y\sim LN(\mu+\kappa\sigma,\sigma^2)\) ，则有 \(\ln Y\sim N(\mu+\kappa\sigma,\sigma^2)\) ，所以

\[\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}\left[e^{\ln Y}\right]=\exp\left\{\mu+\kappa\sigma+\frac12\sigma^2\right\}. \]

采用 Wang's Transform 可得

\[\begin{aligned} g(S(x))&=\Phi\left(\Phi^{-1}\left(1-\Phi\left(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right)\right)+\kappa\right) \\ \\ &=\Phi\left(\Phi^{-1}\left(\Phi\left(-\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right)\right)+\kappa\right) \\ \\ &=\Phi\left(-\frac{\ln x-\mu}{\sigma}+\kappa\right) \\ \\ &=1-\Phi\left(\frac{\ln x-\mu-\kappa\sigma}{\sigma}\right). \end{aligned} \]

所以

\[\begin{aligned} H(X)&=\int_0^\infty g(S(x)){\rm d}x \\ \\ &=\int_0^\infty\left[1-\Phi\left(\frac{\ln x-\mu-\kappa\sigma}{\sigma}\right)\right]{\rm d}x \\ \\ &=\int_{-\infty}^\infty\left[1-\Phi\left(\frac{y-\mu-\kappa\sigma}{\sigma}\right)\right]e^y{\rm d}y \\ \\ &=e^{\mu+\kappa\sigma}\int_{-\infty}^\infty\left[1-\Phi\left(z\right)\right]e^{\sigma z}{\rm d}z \\ \\ &=\exp\left\{\mu+\kappa\sigma+\frac12\sigma^2\right\}=\mathbb{E}(Y). \end{aligned} \]

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