周报4.10-4.17

最近在做认识实习的期末小结，里面刚好有关于构造的题目。

构造这方面的内容我一直觉得很抽象，之前没接触过的时候（其实是我不知道自己用到了构造）觉得是类似于数学论证里的“不妨设。。。”，没人说理。不过我做了几道题发现还是比我想象中的有头有尾。

有些题目没什么难度，基本就是稍加思索，可能在分类上很是麻烦，有些就显得比较抽象。

一题之前没做出来，但我个人觉得是自己的问题，题目不算很抽象的那部分。

直接上题：

You are given an array aa of n elements.

Your can perform the following operation no more than n times: Select three indices x,y,z (1<=x<y<z<=n) and replace ax​ with ay​−az​. After the operation, ∣ax​∣ need to be less than 10^{18}.

Your goal is to make the resulting array non-decreasing. If there are multiple solutions, you can output any. If it is impossible to achieve, you should report it as well.

 

Input:

Each test contains multiple test cases. The first line will contain a single integer tt (1 <= t <= 10000) — the number of test cases. Then tt test cases follow.

The first line of each test case contains a single integer n (3≤n≤2⋅105) — the size of the array a.

The second line of each test case contains nn integers a1​,a2​,…,an​ (−109≤ai​≤109), the elements of a.

It is guaranteed that the sum of n over all test cases does not exceed 2*10^5.

 

Output:

For each test case, print -1 in a single line if there is no solution. Otherwise in the first line you should print a single integer m (0≤m≤n) — number of operations you performed.

Then the i-th of the following mm lines should contain three integers x,y,z (1≤x<y<z≤n)— description of the i-th operation.

If there are multiple solutions, you can output any. Note that you don't have to minimize the number of operations in this task.

 

这道题目如果不用构造，那必然超时毫无疑问，但是构造是要找到一个切入点的，这道题里面的关键点事实上是非递减这个条件。非递减是包含了相等的，如果想不到这一点就难以展开下去。但实际上这还不够，因为构造的框架定下以后的细节处理也很重要，选用一个定值作为元素的值，也需要先判断是否能够这样做，考虑到最后两项的特殊性，如果a[n]>=a[n-1]不成立，那数组就不可能递减，因此大可以先判定最后两项的情况，也顺便将这两个值的差作为代替其他元素的值，一举两得，时间复杂度O(c)；

 

另外一题就比较抽象，更加容易走偏：

You are given three integers n, a, b. Determine if there exists a permutation p1​,p2​,…,pn​ of integers from 1 to n, such that:

• There are exactly a integers i with 2≤i≤n−1 such that pi−1​<pi​>pi+1​ (in other words, there are exactly a local maximums).

• There are exactly b integers i with 2≤i≤n−1 such that pi−1​>pi​<pi+1​ (in other words, there are exactly b local minimums).

If such permutations exist, find any such permutation.

 

Input:

The first line of the input contains a single integer t (1≤t≤10^4) — the number of test cases. The description of test cases follows.

The only line of each test case contains three integers n, a and b (2≤n≤10^5, 0≤a,b≤n).

The sum of n over all test cases doesn't exceed 10^5.

 

Output:

For each test case, if there is no permutation with the requested properties, output -1.

Otherwise, print the permutation that you are found. If there are several such permutations, you may print any of them.

 

这道题要求构造出一个数组，其中包括了1到n的每一个整数，然后要求里面含有任意的项，他们有些要大于两边的项，有些要小于两边的项。

因为这道题一开始就限定死了这些数的全集，因此在构造的时候总是处处受限，比如说我本来要排列数据，那么排到最后几位的时候，就发现傻了，剩下的数总是会导致存在超出要求数量的特殊项，这就不得不逼着我去把前面排好的给拆散，顺带一提我一开始打算182736这样排，但是就像前面说的心力交瘁也归结不出一个规律，总是会被后续的排列打乱。

查阅了答案，我发现他的做法是将特殊项比作凹凸，因此凹凸的差不可能大于1（惭愧表示这一点也没想到），这大大缩小了需要构造的范围，而后他采用了一种交换的手法，交换递增数列前面的数，那么可能构造出小于两边项的项，反之亦然，就这样依靠交换前面交换后面这样并不复杂的手法，解决了这个十分抽象的问题，重点就在于他能够归结出计算机方便操作的规律。

 

构造的思想其实就在于归结，在很多不需要求取全部输出的题目中，出题人很可能会把数据范围做的很大，只有避开题目所引导的解题思路，重新归结一条直通路，才能够化繁为简。

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