生成函数杂题选做
作者：互联网
题意：\(n\) 个点的简单有标号无向连通图计数。 \((n\leq 130000)\)
设 \(f(n)\) 表示 \(n\) 个点的简单无向连通图数量， \(g(n)\) 表示 \(n\) 个点的简单无向图数量。
显然 \(g(n)=2^{n\choose 2}\)。
\[g(n)=\sum_{i=1}^n {n-1\choose i-1}f(i)g(n-i) \]枚举 \(1\) 号点所在连通块的大小，\({n-1\choose i-1}\) 表示从其他 \(n-1\) 个点选出 \(i-1\) 个点来与 \(1\) 号点联通。
把 \(g(n)=2^{n\choose 2}\) 代入。
\[2^{n\choose 2}=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}f(i)2^{n-i \choose 2} \]把组合数拆开
\[\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^n\frac{f(i)}{(i-1)!}\frac{2^{n-i\choose 2}}{(n-i)!} \]设
\[F(x)=\sum_{n=1}\frac{f(n)}{(n-1)!}x^n \]\[G(x)=\sum_{n=0}\frac{2^{n\choose 2}}{n!}x^n \]\[H(x)=\sum_{n=1}\frac{2^{n\choose 2}}{(n-1)!}x^n \]有 \(H(x)\equiv F(x)\times G(x)\pmod {x^{n+1}}\)
即 \(F(x)\equiv H(x)\times G^{-1}(x)\pmod {x^{n+1}}\)
标签：连通,frac,函数,sum,生成,无向,choose,杂题,个点 来源： https://www.cnblogs.com/tidongCrazy/p/16144319.html