数据结构 - 跳表

简介

有序的数组可以使用二分查找的方法快速检索一个数据，但是链表没有办法使用二分查找。

对于一个单向链表来说，即使链表中存储的是有序的数据，但如果想要从中查找某个数据时，也只能从头到尾遍历链表，其时间复杂度是 \(O(n)\)。

为了提高链表的查询效率，使其支持类似“二分查找”的方法，对链表进行多层次扩展，这样的数据结构就是跳表。跳表对标的是平衡树，是一种提升链表插入、删除、搜索效率的数据结构。

首先，跳表处理的是有序的链表，一般使用双向链表更加方便。

然后，每两个结点提取一个结点到上一级，提取的这一层被称作为索引层。

这时候，当想要查找 19 这个数字，可以先从索引层开始查找；当到达 17 时，发现下一个结点存储 21 这个数字，则可以确定，想要查找的 19 肯定是在 17 到 21 之间；这时候可以转到下一层（原始链表）中查找，快速从 17 开始检索，很快就可以查找出 19 这个数字。

加入一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是查找效率提高了。实际上，一般会新增多层索引，拥有多层索引的跳表，查找一个结点需要遍历的结点个数将再次减少。

这种链表加多层索引的结构，就是跳表。

效率分析

为了方便对跳表的效率做分析，在这里设定一个常见的跳表类型。

假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级的索引个数大约就是 \(\frac{n}{2}\)，第二级的索引个数大约就是 \(\frac{n}{4}\)，以此类推，第 k 个索引的结点个数是第 k-1 个索引的结点个数的 \(\frac{1}{2}\)，那么，第 k 个索引的结点个数就是 \(\frac{n}{2^k}\)。

时间复杂度

假设索引总共有 h 级，最高级的索引有 2 个结点，使用公式 \(\frac{n}{2^h} = 2\) 进行反推，可以计算得出 \(h = \log_2 n - 1\)，如果是包含原始链表那一级，跳表的高度就是 \(\log_2 n\) 级。

如果想要从跳表中查询某个数据时，每层都会遍历 m 个结点，那么，在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 \(O(m \log n)\)。

从上面图中可知，在每一级索引中最多只需要遍历 3 个结点，其实就可以看作是 m = 3。

实际就是，在最高级索引时最多遍历 3 个结点，当需要在下一级索引中继续检索时，算上前后两个当做范围的结点也只有 3 个，因此，在每一级索引最多只需要遍历 3 个结点。

如果细究的话，m 的值与抽取索引值的间隔有直接关系，但是只是计算时间复杂度的话，可以将 m 值看作是一个常数。

因此，在跳表中做检索的时间复杂度是 \(O(\log n)\)。

空间复杂度

同样的，假设每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级的索引个数大约就是 \(\frac{n}{2}\)，第二级的索引个数大约就是 \(\frac{n}{4}\)，依次类推，最终索引占用的空间将是 \(\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + ... + 4 + 2 = n - 2\)。

所以，跳表的空间复杂度是 \(O(n)\)。

实际上，跳表是一种使用空间换时间的数据结构，以增加索引的方式，提高检索数据的效率。因此，跳表会比普通链表耗费更多内存进行数据存储。

结点间隔

在上述分析跳表的时间复杂度和空间复杂度时，都是以每两个结点抽出一个结点作为上一级索引的结点。

实际上，也可以使用 3 个结点或 4 个结点甚至更多结点做间隔。当然，以不同个数结点做间隔时，检索效率和内存占用都会有些不一样。

假设以 3 个结点做间隔，占用的空间会有所降低，在这个跳表上做检索操作时，检索的效率也会有一些降低。

因为在每一级索引检索的最多结点个数将从 2 个变成 3 个，跳表的高度是 \(\log_3 n\) 级，最终占用的空间将是 \(\frac{n}{3} + \frac{n}{9} + ... + 3 + 1 = \frac{n}{2}\)。

在理论上，以 3 个结点做间隔的跳表与以 2 个结点做间隔的跳表的时间复杂度和空间复杂度都是一样的。但是，实际操作时，以 3 个结点做间隔的跳表的空间占用会比以 2 个结点做间隔的跳表更优一些。

实际上，在软件开发中，不必太在意索引占用的额外空间。虽然原始链表中存储的有可能是很大的对象，但索引结点可以只存储关键值和几个指针，并不需要存储对象，所以当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。

动态插入和删除

上面理解的跳表都是静态的，实际开发中，跳表在新增、删除结点时需要做动态处理，否则容易导致检索效率降低。

如上图所示，如果频繁插入结点，而没有对索引层做动态处理，很容易出现不满足一开始设定的跳表规则。

删除链表的结点时也是同样道理，如果删除结点而没有更新索引层，索引层容易出现已被删除的脏结点。

重建索引

比较容易理解的方法就是重建索引，当每次插入、删除结点的时候，把整个跳表的所有索引层删除重建。

但是这种方法会降低插入结点时的效率，已知跳表的空间复杂度是 \(O(n)\)，也可以推断出重建跳表索引层的时间复杂至少是 \(O(n)\)。

也就是说，使用重建索引的方式，跳表插入结点耗费时间将会直线上升。

随机索引

与重建索引相比，随机索引的效率会更高一些，像 Redis 实现 SortedSet 底层用的跳表就是使用随机索引的方式进行动态处理。

这里的做法是通过使用一个随机函数，来决定这个结点插入时，是否需要插入到索引层、以及插入到第几级索引。

一般来说，通过随机函数得到的数据都是比较均匀的，也表示最终得到的跳表索引层也是比较均匀，而且数据量越大，索引层越是均匀。

先设定索引的生成规则：从原始链表中随机选择 \(\frac{1}{2}\) 个结点作为一级索引，从一级索引中随机选择 \(\frac{1}{4}\) 个结点作为二级索引，以此类推，一直到最顶层索引。这时候就需要根据这个规则完成所需的随机函数，并且是每次插入结点的时候，都通过随机函数判断这个结点需要插入到几级索引。

以下是 Redis 源码当中使用到的随机函数：

/* Returns a random level for the new skiplist node we are going to create.
 * The return value of this function is between 1 and ZSKIPLIST_MAXLEVEL
 * (both inclusive), with a powerlaw-alike distribution where higher
 * levels are less likely to be returned. */
int zslRandomLevel(void) {
    int level = 1;
    while ((random()&0xFFFF) < (ZSKIPLIST_P * 0xFFFF))
        level += 1;
    return (level<ZSKIPLIST_MAXLEVEL) ? level : ZSKIPLIST_MAXLEVEL;
}

这个随机函数会随机生成 1 到索引最高层数之间的一个数字，该方法有 \(\frac{1}{2}\) 的概率返回 1、有 \(\frac{1}{4}\) 的概率返回 2、有 \(\frac{1}{8}\) 的概率返回 3、以此类推。其中 1 表示不需要生成索引，2 表示需要生成一级索引，3 表示需要生成二级索引，以此类推。

为什么不是返回 1 时生成一级索引呢？这是因为，在生成比一级索引更高层级的索引时，都会向下生成索引，即如果随机函数返回 3，则会给这个结点同时生成二级索引和一级索引。这样，如果返回 1 时生成一级索引则会出现生成一级索引的概率为 100%。

使用随机索引方法的跳表，插入结点的时间复杂度与跳表索引的高度相同，最终时间复杂度降到 \(O(\log n)\)，而不是重建索引的 \(O(n)\)。

应用场景

已经知道，Redis 使用了跳表来实现有序集合。其中的原因就是跳表按区间查找元素的时间复杂度是 \(O(\log n + m)\)，而如果使用红黑树实现有序集合，按区间查找元素将会比跳表慢很多。

还有其他的一些开源产品也有使用到跳表结构，如 HBase MemStore 内部存储数据就使用到跳表，Google 开源的 LevelDB 以及 Facebook 基于 LevelDB 优化的 RocksDB 内部的 MemTable 都是使用跳表这种数据结构。

标签：结点,frac,复杂度,链表,索引,跳表,数据结构
来源： https://www.cnblogs.com/fatedeity/p/16138725.html