其他分享
首页 > 其他分享> > 一些证明杂项

一些证明杂项

作者:互联网

1

\[\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{x}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{bc}\right\rfloor \]

其中 \(x\in\R,b,c\in\N\)

\(S_{myself}=\varnothing\)
因为:

\[ 0\le \left\lfloor\frac{\left\lfloor \frac{r}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor\le \left\lfloor\frac {r}{bc} \right\rfloor=0 \]

所以我们可以得到:

\[\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{r}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor=k \]

显然,右边式子也等于 \(k\) ,所以结论成立。

2

步长为 \(k\),模 \(i\),两个位置能够互相走到的充要条件是 \(a\equiv b\bmod \gcd(k,i)\)

证明:

考虑设 \(g=(k,i)\),我们有 \(a+cg=b+dg\Rightarrow a=b+(d-c)g\),所以有 \(b+(d-c)g\equiv ck+b\bmod i\),显然存在这样的一个 \(c\)。

同理,我们可以证明必要性。

3

平面图欧拉公式:

\[ F-E+V=2 \]

其中 \(F\) 表示出现的平面数,\(E\) 表示边数 \(V\) 表示点数。

4

圆内接六边形,六条边直线交于三点,三点共线(帕斯卡定理)

5

矩阵乘法的扩展性

我们认为,如果两个运算 \(\times\) 和 \(+\) 满足一下条件,就可以利用矩阵乘法来进行实现:

加法需要满足:交换律,结合律,有幺元。

乘法需要满足:结合律,有幺元。

加法和乘法需要满足分配率,即左分配律,右分配律同时满足。

满足以上条件的定义了两个运算的集合,也被称作半环。

6

设 \(h(n)\) 表示一张有 \(n\) 个点的图,加无向边,如果加边个数是奇数,贡献是 \(-1\),是偶数则为 \(1\)。考虑让整张图联通的贡献是多少。

有 \(h(n)=(-1)(n-1)h(n-1)\)

关于这点的证明,只需要注意到,一张大小为 \(n\) 的图,设 \(T\) 表示 \(1\) 所在的连通块,如果 \(|T|\le n-2\),我们有其贡献为 \(0\),原因是剩下的图偶数和奇数边的方案相等。

标签:lfloor,right,frac,rfloor,证明,一些,乘法,杂项,left
来源: https://www.cnblogs.com/TianMeng-hyl/p/16070854.html