300iq contest系列做题记录

智商训练中

缓慢更新中.jpg

J. Jealous Split

想不到的转化方式系列(

最优的划分方案一定是和的平方的和最小的子段划分方案

这东西直接$wqs$二分+斜率优化解决就行了

下面证明一下这个结论

考虑一个划分点$k$

不妨设将$k$右移到$k_1$之后，平方和会变小

也就是说，对于左侧来说，它增加了从$k$到$k_1$这一部分的和，而右边减小了这个和

设这段和为$s$

条件即转化为：$(s_1+s)^2 + (s_2-s)^2 <{s_1}^2 + {s_2}^2$

整理一下

$2*s(s1-s2)+2s^2<0$

$s1-s2+s<0$

然后我们再假设，第一种划分是合法的

于是有$(s_1-s_2)^2$ < $t^2$($t$是$max$)

接下来我们要证明第二种划分也是合法的

对于第二种划分方案来说:

左侧=$|s_1+s-(s_2-s)|=|s_1 - s_2 +2s|$

左侧的平方:

$(s_1 - s_2)^2 +4s^2+4s*(s_1 - s_2)$<$t^2$+$4s*(s+s_1 -s_2)$<$t^2$

也就是说新的这个划分也一定是合法的划分

决策点左移类似的证即可

也就是说我们证明了，如果让平方和更小，一定不会令答案更劣

于是也就是说，找平方和最小的答案即可。

 

瞎yy一下这玩意怎么想的(

考虑两个端点固定的进行一次划分

可以发现的是，要让$|s_1 - s_2|$尽可能地小

也就是说$|s_1|$ 和 $|s_2|$要尽可能地靠近

又有$|s_1| + |s_2|$是个定值

$s_1^{2} + s_2^{2} +2*(s_1*s_2)$是个定值

这时候要最小化$s_1^{2}+s_2^{2}-2*(s_1*s_2)$ 也就是$t-4*(s_1*s_2)$

也就是说，这个划分要让两边的乘积尽可能大

$s_1*s_2$认为是左侧的乘上右侧的，其实这个值就会是$sum^2$ - (左侧单独两两乘法) - (右侧单独两两乘法)

而$sum^2$固定，也就是让左侧单独两两乘法，右侧单独两两乘法的和最大。

这种两两乘法，常用套路就是考虑和的平方，然后就会考虑到让左侧和做个平方，右侧和做个平方，出现左侧单独两两乘法，右侧单独两两乘法的情况，因为要最大化这个东西，所以其实是要最小化左侧和的平方和右侧和的平方的和。

于是就转化到原结论上了

虽然有朝着这个方面想过但是变量太多了就寄了，呜呜

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline void read(__int128 &X)
{
    X = 0;
    int w=0; char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) {w|=ch=='-';ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    if (w) X = -X;
}
void print(__int128 x)
{
    if (!x) return ;
    if (x < 0) putchar('-'),x = -x;
    print(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
int N,M;
int lst[100005];
__int128 ans,x[100005],Sum[100005],dp[100005],g[100005],mx[100005];
int que[100005];
__int128 Getx(int pos){
    return Sum[pos];
}
__int128 Gety(int pos){
    return dp[pos]+Sum[pos]*Sum[pos];
}
bool Check(__int128 mid){
    //print(mid);
    //cout<<endl;
    for (int i=1;i<=N;i++)
        g[i]=mx[i]=0;
    int head=1,tail=1;
    que[1]=0;
    for (int i=1;i<=N;i++){
        __int128 nn=2ll*Sum[i];
        while (head<tail && nn*(Getx(que[head+1])-Getx(que[head])) > (Gety(que[head+1])-Gety(que[head]))) head++;
        dp[i]=dp[que[head]]+((Sum[i]-Sum[que[head]])*(Sum[i]-Sum[que[head]])+mid);
        g[i]=g[que[head]]+1;
        while (head<tail && (Gety(que[tail])-Gety(que[tail-1]))*(Getx(i)-Getx(que[tail-1])) > (Gety(i)-Gety(que[tail-1]))*(Getx(que[tail])-Getx(que[tail-1])))
            tail--;
        que[++tail]=i;
    }
    if (g[N]<=M) return true;
    else return false;
}
int main(){
    //freopen("data.in","r",stdin);
    //freopen("test1.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for (int i=1;i<=N;i++){
        read(x[i]);
        Sum[i]=Sum[i-1]+x[i];
    }
    __int128 l=0,r=1e20;
    while (l<=r){
        __int128 mid=(l+r)>>1ll; 
        if (Check(mid)) r=mid-1,ans=mid;
        else l=mid+1;
    }
    Check(ans);
    __int128 val=dp[N]-M*ans;
    vector<int> b;
    b.push_back(N);
    for (int i=N-1;i;i--){
        __int128 nw=(Sum[b.back()]-Sum[i])*(Sum[b.back()]-Sum[i]);
        if (g[i]+1<=M && dp[i]-(M-1)*ans+nw==val) {
            b.push_back(i);
            --M;
            val-=nw;
        }
    }
    reverse(b.begin(),b.end());
    printf("Yes\n");
        for (auto xx:b)
            if (xx!=N) printf("%d ",xx);
    return 0;
}

 

标签：head,系列,contest,Sum,300iq,划分,que,左侧,乘法
来源： https://www.cnblogs.com/si--nian/p/16052835.html