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利用Log Binning拟合参数

作者:互联网

绘制度分布是分析网络属性的一个组成部分。该过程从获得 Nk 开始,即度数为 k 的节点数。这可以通过直接测量或模型来提供。从 Nk 我们计算出 pk = Nk /N。问题是,如何绘制 pk 以最好地提取其属性。

在无标度网络中,具有一或两条链路的众多节点与少数节点共存,其中少数节点为具有数千甚至数百万链路的节点。使用线性 k 轴压缩无数小k区域中的节点,使它们不可见。类似地,由于 k = 1 和大 k 的 pk 可能存在数量级差异,如果我们在线性垂直轴上绘制 pk,大 k 的值将显示为零(图 4.22a)。对数图的使用避免了这些问题。
我们可以使用 10 次方的对数轴(图 4.22b),或者我们可以绘制 log k 函数的 log pk。请注意,pk =0 或 k=0 的点不会在 log-log 图上显示,因为 log 0=-∞。

最有缺陷的方法(但在文献中经常出现)是在对数图上简单地绘制 pk = Nk/N(图 4.22b)。这称为线性分箱(Linear Binning),因为每个bin具有相同的大小 Δk = 1。对于无标度网络,linear binning会在大 k 处产生可立即识别的平台,由形成水平线的大量数据点组成(图 4.22b)。这个平台有一个简单的解释:通常我们只有一个高度节点的样本,因此在高 k 区域中,我们要么有 Nk=0(没有具有 k 度的节点),要么有 Nk=1(具有 k 度的单个节点)。
因此,Linear Binning将提供 pk=0(未在对数图上显示)或 pk = 1/N(适用于所有hubs),在 pk = 1/N 处生成一个平台。

这个平台会影响我们估计度指数 γ 的能力。例如,如果我们尝试使用linear binning对图 4.22b 中所示的数据拟合幂律,则获得的 γ 与实际值 γ=2.5 完全不同。原因是在linear binning下,我们在小 k 的bin中有大量节点,这使我们能够自信地在这种情况下拟合 pk。在大 k 的 bin 中,我们的节点太少,无法对 pk 进行适当的统计估计。相反,新出现的平台会使得拟合参数偏离。然而,正是这种高 k 状态在确定 γ 中起关键作用。增加 bin 大小不会解决这个问题。因此,建议避免对肥尾分布进行Linear binning。

Logarithmic binning纠正了linear binning的非均匀采样。对于 log-binning,我们让 bin 大小随程度增加,确保每个 bin 具有相当数量的节点。例如,我们可以选择 bin 大小为 2 的倍数,这样第一个 bin 的大小为 b0=1,包含所有 k=1 的节点;第二个大小为 b1=2,包含度数 k=2、3 的节点;第三个 bin 的大小为 b2=4,包含度数 k=4、5、6、7 的节点。通过归纳,第 n 个 bin 的大小为 2n-1,包含度数k=2^{n-1},2^{n-1}+1, ...,2^{n}-1的所有节点。请注意,bin大小可以随任意增量增加,b_{n}=c^{n},其中 c > 1。度分布由p_{<k_{n}>}=N_{n}/b_{n}给出,其中 Nn 是在大小为 bn 的 bin n 中找到的节点数〈kn〉 是 bin bn 中节点的平均度数。
图 4.22c 显示了logarithmic binning的 pk。请注意,现在扩展到高 k 平台,其本来在linear binning下不可见。因此,logarithmic binning也可以从稀有的高度节点中提取有用信息。

参考文献:barabasi,network science.

标签:bin,Nk,Log,Binning,binning,拟合,pk,节点,log
来源: https://blog.csdn.net/qq_32515081/article/details/123122956