平衡树(Splay) artalter级服务:第二弹——插入，删除，查询
作者：互联网
平衡树(Splay) artalter级服务:第二弹——插入，删除，查询
0.前言
今天有奥赛课，所以我又回来了
今天会把普通平衡树的操作讲完
1.插入
首先，在splay中，是不会有权值（也就是平衡树排大小的关键字）重复的结点的。取而代之的，是表示这个值出现次数的附加值cnt.
插入操作可以分为几种情况：
1.平衡树中什么也没有，这个时候我们只要新建第一个结点，并把它设为根节点就可以啦。
2.平衡树中已经出现过了这个权值。我们找到这个权值所在的位置，把这个结点的size值和cnt值都加一即可
3.这个权值在平衡树中还没有出现过。我们找到这个权值所应该在的位置，并在这个位置上新建一个结点，并把size值和cnt值都初始化为1
2,3的最后，都要把找到或新建的结点旋转到根节点
如何找出要插入到权值所应该在的位置？
我们从根结点往下找，判断要插入的权值和当前结点权值的大小。如果大于当前结点，就去它的右子树，否则就去它的左子树，直到两个权值相等或当前结点不存在
建立新结点的函数代码
void nowPoint(int val, int fa, int nxt) //新建一个权值为val，是fa结点的nxt孩子的结点
{
tot++;
fa(tot) = fa, size(tot) = cnt(tot) = 1, val(tot) = val;
son(fa, nxt) = tot;
}
插入函数的代码
void insert(int val) //插入一个值为val的数
{
if (root == 0)
{
nowPoint(val, 0, 1);
root = tot;
return;
}
int now = root;//查找部分在下面查找部分有比较详细的注释来解释
while (1)
{
size(now)++;//让所有子树包含val结点的结点size值加1
if (val(now) == val)
{
cnt(now)++, size(now)++;
splay(now,root);
return;
}
int nxt = val(now) < val, son = son(now, nxt);
if (!son)
{
nowPoint(val, now, nxt);
splay(tot, root);
return;
}
now = son;
}
}
2.删除
接下来就是splay最恶心最容易出锅的地方了（至少对我来说是这样）
什么是删除?
我以前听过一句话：一个人一生会经历三次死亡。第一次是生理上的死亡，第二次是最后一个认识你的人的死亡，第三次是所有能证明你存在的事物的消失。
在删除操作上也是同理：如何证明一个点被删除了？我们只要让它不是其他任何一个点的父节点,左孩子和右孩子就可以了。
在删除之前，我们首先要实现一个函数：find()。它的功能是查找一个权值为val的结点的编号,并把它旋转到根节点。如果不存在，就返回0
插入中有类似的代码，我就不再过多解释了
查询函数的代码
int find(int val)//查找val值对应的编号并旋转到根节点
{
int now = root//从根结点向下查找
while (1)
{
if (!now)//结构体中的值默认为0.如果now值为0，说明查找到了一个不存在的结点，也就是说这个权值在以前并没有被插入过，因此我们可以直接返回0
return 0;
if (val(now) == val)//如果有我们查到了这个权值
{
splay(now, root);//就把这个权值对应的结点旋转到根节点
return now；//返回这个结点对应的编号
}
int nxt = val(now) < val, son = son(now, nxt);//如果val(now)<val,val对应的结点一定在右子树中，而此时val<val(now)的返回值恰好为1，也正表示右孩子
now = son;
}
}
我们进行删除操作的第一步，就是find一下val的编号。如果需要删除一个不存在的值，那么直接退出。
在find中，我们已经把val旋转到了根节点。现在，比val小的数都在根节点的左子树，比find大的数都在根节点的右子树。
我们可以把删除操作分成以下几种情况。
1.val结点出现过多次，我们只把它的cnt值和size值-1就可以了
2.val既没有左子树，也没有右子树，此时整棵树中只有val一个数，此时我们直接把root赋为0，也就是整颗树还没有结点的初始状态
3.val有左子树，但没有右子树。我们直接把val的左结点的父亲暴力改成0结点，把val的左结点暴力改成根结点就可以了。现在，val不是根节点，无法被直接选择，也无法由其他任何一个结点所遍历到，那么它就相当于被删除了。就像这样
图中原来的1号结点实质上已经被删除了（ 但是编号并没有被回收 ）
4.val有右子树，但没有左子树，此时同2
5.val既有左子树，又有右子树
我们此时找出val的左子树中最大的一个点pos，把它移动到根节点。
那么此时pos的左子树为之前val除pos以外的左子树（pos为之前val左子树中的最大值，因此在旋转的过程中它不会有左孩子，只有在倒数第二部它旋转到了val的左孩子，再次旋转时val就会变成pos的右孩子），右子树为val和它以前的右子树（pos是小于val的最大的结点，显然没有一个结点的权值在大于pos而小于val,因此val不可能有左孩子）。
我们在暴力把val的右孩子和pos连在一起，val就相当于被孤立了。我们放图来演示一下这个过程：
开始时
pos旋转到了val的左孩子
pos旋转到了根节点
val被删除了
删除之后，记得更新pos结点的size值
删除函数的代码
void delet(int val)//删除权值为val的结点
{
int now = find(val);
if (!now) return;
if (cnt(now) > 1)//第一种
{
cnt(now)--, size(now)--;
return;
}
if (!ls(now) && !rs(now))//第二种
{
root = 0;
}
else if (!ls(now))//第三种
{
root = rs(root);
fa(root) = 0;
}
else if (!rs(now))//第四种
{
root = ls(root);
fa(root) = 0;
}
else//第五种
{
int pos = ls(now);
while (rs(pos))pos = rs(pos);//找出val的左子树中权值最大的结点pos
splay(pos, root);//把pos旋转到根结点
connect(rs(now), pos, 1);//暴力覆盖掉val的痕迹。
pushup(pos);//因为有connect，所以要更新pos的值
}
}
3.查询一个数的排名
首先给出一个数val的排名的定义：小于val的的数的个数+1
由定义，可以给出一个十分简洁的代码：
int Rank(int val)//查询val的排名
{
int k = find(val);
int x = size(ls(k)) + 1;
return x;
}
由于我们使用了find，现在val结点是根结点，那么显然所有比val小的数都在val的左子树里，val的排名自然就等于它左子树的大小+1
然而，这样就可以了吗？
不行！
这样做只能查询一个在树中的数的排名
稍作修改后，我们可以得到这样一份代码：
int Rank(int val)//查询val的排名
{
insert(val);
int k = find(val);
int x = size(ls(k)) + 1;
delet(val);
return x;
}
我们先把这个数插入，在查询完成之后把这个数删除。这样就能查询任何数的排名了。
现在总可以了吧！
还是不行！
还记得我在删除操作是说的吗？删除操作并不会回收编号，也就相当于不会回收空间。
在空间开销比较小时，这样做并没有什么问题。但是在树套树 \(o(n\log n)\)的空间复杂度下，如果还用这种肆意挥霍空间的方式，就相当于在数百万的结构体空间上再乘个 20倍。在那道题2中，我采用这种写法，经测试，需要的结构体空间可能在 数千万 。更何况一个结构体的空间占用可能是普通int型的 10 倍！
因此，我采用这种写法
int Rank(int val)
{
int now = root, s = 0; //s存的是小于val的数的个数
while ( now )
{
if (val(now) == val)
{
splay(now,root);
return size(ls(now)) + 1;
}
if (val(now) < val)
{
s += size(ls(now)) + cnt(now);//递归的思想，在进入右子树之前，我们先把左子树和根的大小加上，接着进入右子树，就像是进了另一个平衡树
now = rs(now);
}
else
{
now = ls(now);
}
}
return s + 1;
}
虽说又臭又长，但总算能省点空间
4.查询第k小数
查询第k小数的代码就像是查排名代码的递归思想的延伸。
k这个排名就像是一个必须要缴够的费用，你每进入一颗右子树，您都可以上缴一个左子树和一个根结点的次数的费用。
当您要找的排名大于一个结点左子树的大小，而小于左子树的大小加它本身，那么这个结点就是排名第k大的数
int aRank(int k)
{
int now = root;
while ( 1 )
{
int used = size(now) - size(rs(now));//used表示的是当前子树除右子树外的大小
if (k > size(ls(now)) && k <= used)
{
break;
}
if (k >= used)
{
k -= used;
now = rs(now);
}
else
{
now = ls(now);
}
}
splay(now, root);
return val(now);
}
5.查询前驱
前驱就是 小于一个数 的最大的数
我们设一个ans,ans的初值为极小值
老套路，如果当前结点比所给值小，且比ans大，那么我们更新ans,并且去它的右子树，看看还有没有比当前结点大却比所给值小的结点。否则就去左子树，缩小当前结点的值。
代码和之前大同小异
int lower(int val)
{
int ans = -2147483647;
int now = root;
while (now)
{
if (val(now) < val && val(now) > ans)
{
ans = val(now);
}
if(val > val(now))
{
now = rs(now);
}
else
{
now = ls(now);
}
}
return ans;
}
6.查询后驱
和前驱基本一样，不详细解释了
int upper(int val)
{
int ans = 2147483647;
int now = root;
while (now)
{
if (val(now) > val && val(now) < ans)
{
ans = val(now);
}
if( val < val(now) )
{
now = ls(now);
}
else
{
now = rs(now);
}
}
return ans;
}
7.完整代码
展开查看源码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define val(x) t[x].val
#define ls(x) t[x].ch[0]
#define rs(x) t[x].ch[1]
#define son(x, nxt) t[x].ch[nxt]
#define fa(x) t[x].fa
#define size(x) t[x].size
#define cnt(x) t[x].cnt
#define maxn 100005
struct splayTree
{
int val, ch[2], fa, size, cnt;
} t[maxn];
int root, tot; //root是根节点的位置；tot是节点的数量，也是当前最后一个被插入的节点的编号
void read(int &x) { scanf("%d", &x); }
void write(int x) { printf("%d\n", x); }
void pushup(int x) //更新父节点的size值
{
size(x) = size(ls(x)) + size(rs(x)) + cnt(x);
}
int ff(int x) //查询x是它父亲的哪一个节点
{
return rs(fa(x)) == x;
}
void connect(int x, int y, int nxt) //把x插入到y的nxt节点上
{
son(y, nxt) = x;
fa(x) = y;
}
void rotate(int x) //将x旋转到它父亲的位置
{
int y = fa(x), z = fa(y);
int fx = ff(x), fy = ff(y);
connect(son(x, fx ^ 1), y, fx);
connect(y, x, fx ^ 1);
connect(x, z, fy);
pushup(y), pushup(x);
}
void splay(int x, int y) //将x旋转到y的位置
{
y = fa(y);
while (fa(x) != y)
{
if (fa(fa(x)) == y)
rotate(x);
else if (ff(x) == ff(fa(x)))
rotate(fa(x)), rotate(x);
else
rotate(x), rotate(x);
}
if (y == 0)
{
root = x;
connect(x,0,1);
}
}
void nowPoint(int val, int fa, int nxt) //新建一个节点
{
tot++;
fa(tot) = fa, size(tot) = cnt(tot) = 1, val(tot) = val;
son(fa, nxt) = tot;
}
void insert(int val) //插入一个值为val的数
{
if (root == 0)
{
nowPoint(val, 0, 1);
root = tot;
return;
}
int now = root;
while (1)
{
size(now)++;
if (val(now) == val)
{
cnt(now)++, size(now)++;
splay(now,root);
return;
}
int nxt = val(now) < val, son = son(now, nxt);
if (!son)
{
nowPoint(val, now, nxt);
splay(tot, root);
return;
}
now = son;
}
}
int find(int val)
{
int now = root;
while (1)
{
if (!now)
return 0;
if (val(now) == val)
{
splay(now, root);
return now;
}
int nxt = val(now) < val, son = son(now, nxt);
now = son;
}
}
void delet(int val)
{
int now = find(val);
if (!now) return;
if (cnt(now) > 1)
{
cnt(now)--, size(now)--;
return;
}
if (!ls(now) && !rs(now))
{
root = 0;
}
else if (!ls(now))
{
root = rs(root);
fa(root) = 0;
}
else if (!rs(now))
{
root = ls(root);
fa(root) = 0;
}
else
{
int pos = ls(now);
while (rs(pos))pos = rs(pos);
splay(pos, root);
connect(rs(now), pos, 1);
pushup(pos);
}
}
int Rank(int val)
{
int now = root, s = 0;
while ( now )
{
if (val(now) == val)
{
splay(now,root);
return size(ls(now)) + 1;
}
if (val(now) < val)
{
s += size(ls(now)) + cnt(now);
now = rs(now);
}
else
{
now = ls(now);
}
}
return s + 1;
}
int aRank(int k)
{
int now = root;
while ( 1 )
{
int used = size(now) - size(rs(now));
if (k > size(ls(now)) && k <= used)
{
break;
}
if (k >= used)
{
k -= used;
now = rs(now);
}
else
{
now = ls(now);
}
}
splay(now, root);
return val(now);
}
int lower(int val)
{
int ans = -2147483647;
int now = root;
while (now)
{
if (val(now) < val && val(now) > ans)
{
ans = val(now);
}
if(val > val(now))
{
now = rs(now);
}
else
{
now = ls(now);
}
}
return ans;
}
int upper(int val)
{
int ans = 2147483647;
int now = root;
while (now)
{
if (val(now) > val && val(now) < ans)
{
ans = val(now);
}
if( val < val(now) )
{
now = ls(now);
}
else
{
now = rs(now);
}
}
return ans;
}
int main()
{
int T;
read(T);
int k = 0;
for(int i = 1;i<=T;i++)
{
int opt, val;
read(opt);
read(val);
int ans;
switch (opt)
{
case 1:
insert(val);
break;
case 2:
delet(val);
break;
case 3:
ans = (Rank(val));
break;
case 4:
ans = (aRank(val));
break;
case 5:
ans = (lower(val));
break;
case 6:
ans = (upper(val));
break;
}
if(opt>2)
{
write(ans);
}
}
return 0;
}
结语
下次奥赛课尽量更新
最后,C呆老婆镇楼
标签：artalter,结点,val,int,Splay,插入,now,root,size 来源： https://www.cnblogs.com/artalter/p/15922513.html