蓝桥杯 第八讲 数论
作者：互联网
一、算法
1.欧几里得算法(辗转相除法求最大公约数)
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
辗转相减法（求最大公约数）
即尼考曼彻斯法，其特色是做一系列减法，从而求得最大公约数。例如 ：两个自然数35和14，用大数减去小数，(35,14)->(21,14)->(7,14)，此时，7小于14，要做一次交换，把14作为被减数，即(14,7)->(7,7)，再做一次相减，结果为0，这样也就求出了最大公约数7
LL gcd_sub(LL a,LL b)//辗转相减法求最大公约数
{
if(a<b) swap(a,b);
if(b == 1) return a;
return gcd_sub(b,a/b);
}
2.算术基本定理
3.筛法求素数——线形筛法
求1——n中所有质数以及每个数的最小质因子
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if(!st[i])
{
primes[cnt++] = i;
}
for(int j = 0;primes[j]<=n/i;j++)
{
int t = primes[j] * i;
st[t] = true;
if(i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
4.约数之和、约数个数
5.扩展欧几里得算法(裴蜀定理)
对于任意正整数a,b,若a和b的最大公约数为d，那么一定存在一组整数x,y，使得ax+by = d
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x = 1,y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b,a%b,y,x);
y-= a/b * x;
return d;
}
二、例题
1246. 等差数列
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N],n;
int ans;
int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
scanf("%d", &a[i]);
}
sort(a,a+n);
int Min = 0x3f3f3f3f;
for (int i = 1; i < n - 1; i ++ )
{
Min = min(gcd(a[i] - a[i-1],a[i+1] - a[i]),Min);
}
if(Min == 0)
{
cout << n << endl;
return 0;
}
ans = (a[n-1] - a[0])/Min + 1;
cout << ans << endl;
return 0;
}
1295. X的因子链
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = (1<<20) + 10;
int x;
int primes[N],cnt;
int minp[N]; //最小质因子
bool st[N]; //是否被筛除
void get_primes(int n) //线形筛素数
{
for(int i = 2;i<=n;i++)
{
if(!st[i])
{
primes[cnt++] = i;
minp[i] = i; // 起初，最小质因子是其本身
}
for(int j = 0;primes[j]*i<=n;j++)
{
int t = primes[j]*i;
st[t] = true; //标记合数
minp[t] = primes[j];
if(i % primes[j] == 0) break;//如果i是前面某个素数的倍数时，之后的筛数是没有必要的，跳出循环
}
}
}
int main()
{
get_primes(N - 1);
int fact[30],sum[N]; //分别表示质因数及其次幂
while(scanf("%d",&x)!=EOF)
{
int k = 0,tot = 0;//tot用于记录最大长度，k表示第i个因子的下标
while(x>1) //依次处理各个质因子，求出对应质因子出现的次数
{
int p = minp[x]; //依次取出最小质因子
fact[k] = p,sum[k] = 0;
while(x%p==0)
{
x/=p;
sum[k]++;
tot++;
}
k++;
}
LL res = 1;
for(int i = 1;i<=tot;i++) res*=i; //求所有质因子出现总次数的全排列
for(int i=0;i<k;i++) //去除各个质因子重复出现的次数
{
for(int j = 1;j<=sum[i];j++)
{
res/=j;
}
}
printf("%d %lld\n",tot,res);//输出最长序列的长度, 以及满足最大长度的序列的个数
}
return 0;
}
1296. 聪明的燕姿
1299. 五指山
这题的题意是让我们求x+bd = y+an ,整理得：-an+bd = y-x
但是我们得扩展欧几里得定理只能求 -an+bd = gcd(n,d)中的a和b，但是很容易看出y-x应该为gcd(n,d)的整数倍
否则无解。
因此我们只需要判断y-x是否为gcd(n,d)的整数倍就能判断是否有解了。
若有解我们利用扩展欧几里得定理就可以求得-an+bd = gcd(n,d)中的a和b，然后将a和b扩大 (y-x)/gcd(n,d)倍
就可以得到一组a0和b0，因为之前我们证过了获得一组解后其他解就可以表示出来了，我们只需要求一下所有解中的最小值就可以了（注意我们的b只能是正数，你总不能让大圣反着翻吧）
即：
求一下b = b0+k*(n/gcd(n,d))的最小值即可
minb = b0%(n/gcd(n,d));
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e9 + 10;
int T;
LL n,d,x,y,a,b;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1,y = 0;
return a;
}
LL d = exgcd(b,a%b,y,x);
y -= a/b * x;
return d;
}
int main()
{
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &d,&x,&y);
LL mul = exgcd(n,d,a,b);
if((y-x)%mul!=0)
{
puts("Impossible");
}
else
{
b *= (y-x)/mul;
n/=mul;
printf("%lld\n",(b%n+n)%n);
}
}
return 0;
}
1223. 最大比例
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
typedef long long LL;
int n;
LL x[N];
LL a[N],b[N]; //表示每个比率的分母与分子
LL gcd(LL a,LL b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL gcd_sub(LL a,LL b)//辗转相减法求最大公约数
{
if(a<b) swap(a,b);
if(b == 1) return a;
return gcd_sub(b,a/b);
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
scanf("%lld", &x[i]);
}
sort(x,x+n);
int cnt = 0;
for (int i = 1; i < n; i ++ ) //求出所有比例的最简分数形式
{
if(x[i-1]!=x[i]) //去重
{
LL mul = gcd(x[i],x[0]);
b[cnt] = x[i]/mul;
a[cnt] = x[0]/mul;
++cnt;
}
}
LL fm = a[0],fz = b[0];
for(int i = 1;i<cnt;i++) //分开求分子分母的指数最大公约数
{
fm = gcd_sub(fm,a[i]);
fz = gcd_sub(fz,b[i]);
}
cout << fz << '/'<< fm << endl;
return 0;
}
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 32;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1,y = 0;
return a;
}
LL d = exgcd(b,a%b,y,x);
y -= a/b * x;
return d;
}
int main()
{
LL a,b,c,k;
while(cin>>a>>b>>c>>k,a||b||c||k)
{
LL x,y;
LL z = (LL)1<<k; //2^k
LL d = exgcd(c,z,x,y);
if((b-a)%d!=0)
{
puts("FOREVER");
}
else
{
x = x * (b-a)/d; //等式转换
z = z / d; //等式转换
cout << (x % z + z) % z <<endl; //针对取模运算产生的负数问题处理
}
}
return 0;
}
1225. 正则问题
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include<string>
using namespace std;
const int N = 10005;
string str;
int k,len;
int dfs()
{
int res = 0;
while(k < len)
{
if(str[k] == '(') //处理(......)
{
++k; //跳过左括号
res += dfs();
++k; //跳过右括号
}
else if(str[k] == '|')
{
++k; //跳过'|'
res = max(res,dfs());
}
else if(str[k] == ')') break;
else //统计'x'
{
while(str[k] == 'x')
{
++k;
++res;
}
}
}
return res;
}
int main()
{
cin>>str;
len = str.size();
int ans = dfs();
cout << ans << endl;
return 0;
}
标签：return,gcd,数论,++,LL,第八,蓝桥,int,include 来源： https://www.cnblogs.com/zjq182/p/15898633.html