「康托展开」学习笔记

至于笔者为什么写这篇学习笔记，其实也没有什么 特殊原因（CantorSort2919

前置芝士：

相信大家都学过 排列组合，我们记 $P_n^n$ 或 $A_n^n$ 为 $1\sim n$ 的 全排列；

并且，全排列还可以按照 字典序 进行排序，

举个栗子，

$A=\{1,2,3,4\}$

$B=\{1,2,3,4,5\}$

其中 $len_a<len_b$，所以 $A$ 的字典序 小于 $B$。

而 康托展开（Cantor Expansion，CE），记录的就是 $1\sim n$ 全排列的 排名。

正题：

康托展开

让笔者再举一个栗子：

$A=\{2,5,3,4,1\}$。

我们知道长为 $5$  的排列 $\{2,5,3,4,1\}$ 大于以 $1$ 为第一位的 任何排列，以 $1$ 为第一位的排列有 $4!$ 种。

非常好理解。

但是我们对第二位的 $5$ 而言，它大于 第一位与这个排列相同的，而这一位比 小的 所有排列。不过我们要注意的是，这一位不仅要比 $5$ 小，还要满足没有在当前排列的前面出现过，不然统计就重复了。因此这一位为 $1,3,4$，第一位为 $2$ 的所有排列都比它要小，数量为 $3\times 3!$。

按照这样统计下去，答案就是 $1+4!+3\times 3!+2!+1=46$。

注意，

我们统计的是排名，因此最前面要 $+1$。

 

注意到我们每次要用到 当前有多少个小于它的数还没有出现，这里可以用 树状数组 统计 比它小的数出现过的次数。

逆康托展开

因为排列的排名和排列是 一一对应 的，所以康托展开满足 双射关系，是 可逆的。可以通过类似上面的过程倒推回来。

如果我们知道一个排列的排名，就可以推出这个排列。因为 $4!$

是严格大于 $3\times 3!+2\times 2!+1\times 1!$ 的，所以可以认为对于长度为 $5$ 的排列，排名 $x$ 除以 $4!$ 向下取整就是有多少个数小于这个排列的第一位。

用式子来表达，就是第一位记作 $y$ 时，有：

$$y=\lfloor \frac{x}{4!}\rfloor$$

推广，即可得出，$1\sim n$ 的全排列中，第 $x$ 名的排列的第一位 $y$ 的计算式子：

$$y=\lfloor \frac{x}{(n-1)!}\rfloor$$

 

标签：第一位,排列,笔记,times,排名,展开,sim,康托
来源： https://www.cnblogs.com/CANTOR-SORT/p/15866374.html