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斜率优化模板题，机房特权啊啊啊！

写方程：

\[f_x=\min\limits_{i=0}^{x-1}\{f_i+s\times(sc_m-sc_i)+st_x\times(sc_z-sc_i)\} \]

去掉大括号和min：

\[f_x=f_i+s\times(sc_m-sc_i)+st_x\times(sc_z-sc_i) \]

拆开&移项：

\[f_j=(s+st_i)sc_j+f_i+s\times sc_m+st_i\times sc_i \]

标注一下：

\[\begin{matrix}\underbrace{f_j}\\y\end{matrix}=\begin{matrix}\underbrace{(s+st_i)}\\k\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{sc_j}\\x\end{matrix}\begin{matrix}\underbrace{+f_i+s\times sc_m+st_i\times sc_i}\\b\end{matrix} \]

tmd公式打得只有那么费劲了。于是我们发现上述式子的k是确定的，又因为b为\(f_i\)加上一个定值，所以我们期望的是让b，也就是截距最小。暂且把b看成未知量，于是可以发现这个式子相当于是过已知点\((x,y)\)作斜率为\(k\)的直线会得到一个截距，求众多点中哪一个会截出最小的截距。到这一步我就大概搞懂了斜率优化为何物了。

然后就是老生常谈了。我的做法是维护一个存放了众多点的队列，队列整体上维护的是一个下凸壳（毕竟只有下凸壳上的点可能成为决策点）。观察数据发现由于\(t_i\)可能为负数，也就是说\(s+st_i\)并不是单调递增，那么选择决策点时需要在凸壳中进行二分查找。但由于\(sc_i\)是单调不减的，说明凸壳只会在最右边插入点，便不需要平衡树进行维护了。

最后说一句，判斜率大小要用乘法而且维护凸壳进队列时判断要取等。

#include<cstdio>
#include<cstring>
//#define zczc
#define int long long
const int N=300010;
inline void read(int &wh){
    wh=0;int f=1;char w=getchar();
    while(w<'0'||w>'9'){if(w=='-')f=-1;w=getchar();}
    while(w<='9'&&w>='0'){wh=wh*10+w-'0';w=getchar();}
    wh*=f;return;
}

int m,n,in,sc[N],st[N],f[N],cnt=1,pl;
void cost(int x,int y){
	int now=f[x]+n*(sc[m]-sc[x])+st[y]*(sc[y]-sc[x]);
	if(now<f[y])f[y]=now;return;
}
struct node{int id,x,y;}s[N];
inline bool cmp(node s0,node s1,node s2){
	return (s1.y-s0.y)*(s2.x-s1.x)>=(s1.x-s0.x)*(s2.y-s1.y);
}

signed main(){
	
	#ifdef zczc
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	
	read(m);read(n);memset(f,0x3f,sizeof(f));f[0]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)read(in),st[i]=st[i-1]+in,read(in),sc[i]=sc[i-1]+in;
	s[cnt].id=0,s[cnt].x=0,s[cnt].y=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(cnt<=3)for(int j=1;j<=cnt;j++)cost(s[j].id,i);
		else{
			int l=1,r=cnt-1,mid,nk=n+st[i];
			while(l<r){
				mid=l+r>>1;
				if(s[mid+1].y-s[mid].y>=nk*(s[mid+1].x-s[mid].x))r=mid;
				else l=mid+1;
			}
			if(l>1)cost(s[l-1].id,i);cost(s[l].id,i);if(l<cnt)cost(s[l+1].id,i);
		}
		node now=(node){i,sc[i],f[i]};
		while(cnt>1&&cmp(s[cnt-1],s[cnt],now))cnt--;s[++cnt]=now;
	}
	printf("%lld",f[m]);
	
	return 0;
}

标签：matrix,int,安排,mid,st,任务,sc,times
来源： https://www.cnblogs.com/dai-se-can-tian/p/15865254.html