咱就是说闲不住了

话不多说先看题：

在等腰\(Rt△EBD\)中，A为EB中点，以B为圆心，BA长为半径作弧，交边BD于C点。现在弧AC上有一动点P，求 \((EP+PD)_{min}\)。

啊……咱就是在抖音上无聊刷到的，那个老登说这是什么“超难最值问题”，结果就这么个破题，大家可以试试看。

PS:顺便晒晒游戏战绩(一年前的纪录，挺菜的)

试完了吗

首先，有点几何直观的人都能猜到P在弧AC中点时，\(EP+PD\) 取得 \(min\) 值。但是怎么去证明呢？

我们给出一种比较标准的方法：

看到这个，毫无疑问的想到“阿氏圆”问题。但是……传统的阿氏圆问题中，我们的 "\(k\)" 一般给定的值都等于 \(\frac{r}{BD}\) ，这时 \(k=1≠1/2\)。
那么，怎样改进传统的办法使它切合这个题目呢？
emm,有同学之前读过我的另一篇 Blog : 阿氏圆拓展，在该篇文章中，我们引入了椭圆来解决问题。同样的，如果在这题也引入椭圆，会不会好办呢？
于是，我们以 E、D 为焦点，构造椭圆，当椭圆与圆弧AC相切时，\(P\) 运动到切点（也就是AC中点）\(F\) 时，\(EP+PD\) 取得 \(min\) 值。

可是我们初中生又没学过椭圆

那也好办。看到等腰\(Rt△EBD\)，两边又在x、y轴上，自然而然想到构造直线 \(l:y-x=0\) ，然后看看和题目所求有什么关联没。

那我们也是构造出来了。令 \(l\) 与圆弧AC交点（也就是弧AC中点）为 \(F\)，连接 EF 和 DF 。可以发现，当 \(P\) 与 \(F\) 不重合的时候，有两个三角形存在。根据三角形不等式，可得：
\(EP+PF>EF\) 以及 \(PD+PF>DF\) 。
整理得：
\(EP>EF-PF,PD>DF-PF\)
于是
\(EP+PD>EF+DF-2PF\) 。
但是我们的 \(P\) 和 \(F\) 是能够重合的，而 \(PF\) 最小值为 0 。
所以，当 \(P\) 与 \(F\) 重合时: \(EP+PD=EF+DF\) 取得 \(min\) 值。

戛然而止.Orz

标签：AC,EF,2022,DF,30,PF,PD,随笔,EP
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