一刷106-动态规划-62不同路径（m）
作者：互联网
题目：
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
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思考：
深搜：
这道题目，刚一看最直观的想法就是用图论里的深搜，来枚举出来有多少种路径。
注意题目中说机器人每次只能向下或者向右移动一步，
那么其实机器人走过的路径可以抽象为一棵二叉树，而叶子节点就是终点！
如图举例：
此时问题就可以转化为求二叉树叶子节点的个数，代码如下：
class Solution {
private:
int dfs(int i, int j, int m, int n) {
if (i > m || j > n) return 0; // 越界了
if (i == m && j == n) return 1; // 找到一种方法，相当于找到了叶子节点
return dfs(i + 1, j, m, n) + dfs(i, j + 1, m, n);
}
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
return dfs(1, 1, m, n);
}
};
大家如果提交了代码就会发现超时了！
来分析一下时间复杂度，这个深搜的算法，其实就是要遍历整个二叉树。
这棵树的深度其实就是m+n-1（深度按从1开始计算）。
那二叉树的节点个数就是 2^(m + n - 1) - 1。可以理解深搜的算法就是遍历了整个满二叉树
（其实没有遍历整个满二叉树，只是近似而已）
所以上面深搜代码的时间复杂度为$O(2^{m + n - 1} - 1)$，
可以看出，这是指数级别的时间复杂度，是非常大的
动态规划：
机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。
按照动规五部曲来分析：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。
此时在回顾一下 dp[i - 1][j] 表示啥，是从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径，dp[i][j - 1]同理
那么很自然，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。
dp数组的初始化
如何初始化呢，首先dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，
那么dp[0][j]也同理
所以初始化代码为：
for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
确定遍历顺序
这里要看一下递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，
dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
这样就可以保证推导dp[i][j]的时候，dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]一定是有数值的。
举例推导dp数组
如图所示：
代码：
/**
* 1. 确定dp数组下标含义 dp[i][j] 到每一个坐标可能的路径种类
* 2. 递推公式 dp[i][j] = dp[i-1][j] dp[i][j-1]
* 3. 初始化 dp[i][0]=1 dp[0][i]=1 初始化横竖就可
* 4. 遍历顺序 一行一行遍历
* 5. 推导结果 。。。。。。。。
*
* @param m
* @param n
* @return
*/
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
int[][] dp = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[0][i] = 1;
}
for (int i = 1; i < m; i++) {
for (int j = 1; j < n; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
}
标签：遍历,return,int,++,62,一刷,106,dp,二叉树 来源： https://blog.csdn.net/m0_45170946/article/details/122723039