P5692 手牵手走向明天
作者:互联网
P5692 手牵手走向明天
有一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\),有 \(m\) 次操作。
- 给定 \(l,r,x,y\),将 \(a_l,a_{l+1},a_{l+2},\cdots,a_r\) 中等于 \(x\) 的数全部改成 \(y\)。
- 给定 \(l,r,x,y\),找到 \(i,j\) 满足 \(i,j\in[l,r]\) 且 \(a_i=x,a_j=y\),并要求 \(|i-j|\) 最小,求这个最小值,无解输出
-1
。
\(1 \leq n,m,a_i\leq 10^5\),时限 \(1.50\text{s}\),空限 \(512\text{MB}\)。
sol
「弑尽破净第四分块」加强版。
无难度评分。
相较于 P5397 天降之物,这题是对区间修改和查询,所以我们不能再用原先的值域分块。
考虑序列分块。
对于答案在一个块内的情况显然可以预处理。
但这里如果是开一个 \(dis[i][j][k]\) 的三维数组的话空间是 \(n^2\sqrt n\) 级别的。
注意到每个块内只有 \(\sqrt n\) 个数,所以可以使用类似于离散化的技巧,对于每个数,把它映射到一个标号,这样空间就是 \(n\sqrt n\) 开得下了,可 \(\mathcal O(1)\) 获取⼀个数在某个块中的标号,\(dis[i][j][k]\) 的定义为第 \(i\) 个块内,数 \(j\) 与离散化后的 \(k\) 的最短距离。
如果不在一个块内的话,,由于我们要求距离最⼩,那么每个块中可能成为答案的,只有这个数第⼀次出现的位置和最后⼀次出现的位置,维护每个块内每个数第一次和最后一次出现的位置,然后扫一遍,维护 \(x\) 和 \(y\) 各自最后一次出现的位置即可,单次时间复杂度 \(\mathcal O(\sqrt n)\)。
对于散块的查询直接扫过去,单次时间复杂度为 \(\mathcal O(\sqrt n)\)。
再看修改,枚举每一个块,假设一个块中最开始有 \(m\) 个颜色,那么修改 \(x\) 为 \(y\):
- 无 \(x\):跳过。
- 有 \(x\) 无 \(y\):改标号即可。
- 有 \(x\) 有 \(y\):对于 \(x,y\) 以外的 \(m-2\) 个颜色,每一个颜色都需要进行 \(\mathcal O(1)\) 次修改,然后合并 \(x,y\) 的颜色信息也是 \(\mathcal O(m)\) 的,总时间复杂度是 \(O(m)\),并且每次操作完 \(m\) 减少一。
考虑怎么更新 \(dis\) 数组的信息,容易想到,枚举每个其他颜色,取 \(\min\) 即可。
那么一个块最多产生多少次操作?
因为 \(m\) 最大为 \(\sqrt{n}\) ,所以一个块中的操作次数其实是 \(\mathcal O(n)\) 级别的,所以总操作次数就是 \(O(n\sqrt{n})\)。
最后看散块修改,最大的问题在于关于 \(y\) 的距离怎么修改,因为做的是 \(\min\),直接修改似乎不好办。
考虑到,先用 \(O(\sqrt{n})\) 的代价将这一块的 \(a_i\) 的实际值求出来,然后对于 \(y\) 的相关信息直接求一遍,\(x\) 的相关信息也直接求一遍,这一部分的复杂度是 \(O(\sqrt{n})\) 的。
需要注意的是,散块的修改可能增加一个颜色,但是散块最多只会增加 \(\sqrt n\) 个颜色,所以时间复杂度还是对的。
所以,总时间复杂度为 \(\mathcal O((n+m)\sqrt n)\),总空间复杂度为 \(\mathcal O(n \sqrt n)\)。
\(\text{2.76s / 398.59MB / 6.84KB C++98 O2}\)。
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
namespace Fread
{
const int SIZE = 1 << 21;
char buf[SIZE], *S, *T;
inline char getchar()
{
if (S == T)
{
T = (S = buf) + fread(buf, 1, SIZE, stdin);
if (S == T)
return '\n';
}
return *S++;
}
}
namespace Fwrite
{
const int SIZE = 1 << 21;
char buf[SIZE], *S = buf, *T = buf + SIZE;
inline void flush()
{
fwrite(buf, 1, S - buf, stdout);
S = buf;
}
inline void putchar(char c)
{
*S++ = c;
if (S == T)
flush();
}
struct NTR
{
~NTR()
{
flush();
}
} ztr;
}
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getchar
#define putchar Fwrite::putchar
#endif
inline int read()
{
int x = 0, f = 1;
char c = getchar();
while (c < '0' || c > '9')
{
if (c == '-')
f = -1;
c = getchar();
}
while (c >= '0' && c <= '9')
{
x = x * 10 + c - '0';
c = getchar();
}
return x * f;
}
inline void write(int x)
{
if (x < 0)
{
putchar('-');
x = -x;
}
if (x > 9)
write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
const int N = 1e5 + 3, S = 3e2 + 3, T = 6e2 + 3, inf = 0x3f3f3f3f;
int n, m, q, a[N];
int sqrtn, bl[N], L[T], R[T];
int dis[T][S][S], disl[T][S], disr[T][S], pot[T][N], rpot[T][S], lim[T];
int rt[T][S], col[N], fa[N];
int find(int x)
{
return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
inline int min(int x, int y)
{
return x < y ? x : y;
}
inline int max(int x, int y)
{
return x > y ? x : y;
}
inline void chkmin(int &x, int y)
{
x = min(x, y);
}
inline void chkmax(int &x, int y)
{
x = max(x, y);
}
inline void swap(int &x, int &y)
{
x ^= y ^= x ^= y;
}
inline void upd_dis(int t, int _L, int _R, int y)
{
int tl = -inf;
const int &py = pot[t][y];
for (int j = _L; j <= _R; ++j)
{
if (col[find(j)] == y)
tl = j;
chkmin(dis[t][py][pot[t][col[find(j)]]], j - tl);
chkmin(dis[t][pot[t][col[find(j)]]][py], j - tl);
}
tl = inf;
for (int j = _R; j >= _L; --j)
{
if (col[find(j)] == y)
tl = j;
chkmin(dis[t][py][pot[t][col[find(j)]]], tl - j);
chkmin(dis[t][pot[t][col[find(j)]]][py], tl - j);
}
}
inline void init()
{
sqrtn = sqrt(n * 2.2 / 5);
for (int i = 1, c = 1, j; i <= n; i = j + 1, ++c)
{
L[c] = i, R[c] = j = min(n, i + sqrtn);
for (int t = L[c]; t <= R[c]; ++t)
bl[t] = c;
}
m = bl[n];
memset(disl, 60, sizeof disl);
memset(disr, -61, sizeof disr);
memset(dis, 60, sizeof dis);
for (int t = 1; t <= m; ++t)
{
for (int i = L[t]; i <= R[t]; ++i)
{
if (!pot[t][a[i]])
{
rpot[t][pot[t][a[i]] = ++lim[t]] = a[i];
col[rt[t][lim[t]] = i] = a[i];
}
fa[i] = rt[t][pot[t][a[i]]];
}
for (int i = L[t]; i <= R[t]; ++i)
if (fa[i] == i)
upd_dis(t, L[t], R[t], a[i]);
for (int i = R[t]; i >= L[t]; --i)
disl[t][pot[t][a[i]]] = i;
for (int i = L[t]; i <= R[t]; ++i)
disr[t][pot[t][a[i]]] = i;
}
}
inline int calc(int l, int r, int x, int y)
{
int ans = inf, lx = -inf, ly = -inf;
for (int i = l; i <= r; ++i)
{
if (col[find(i)] == x)
lx = i, chkmin(ans, i - ly);
if (col[find(i)] == y)
ly = i, chkmin(ans, i - lx);
}
return ans;
}
inline int query(int l, int r, int x, int y)
{
if (x == y)
{
bool flag = 0;
if (bl[l] == bl[r])
for (int i = l; i <= r; ++i)
flag |= col[find(i)] == x;
else
{
for (int i = l; i <= R[bl[l]]; ++i)
flag |= col[find(i)] == x;
for (int i = L[bl[r]]; i <= r; ++i)
flag |= col[find(i)] == x;
for (int i = bl[l] + 1; i <= bl[r] - 1; ++i)
flag |= pot[i][x] > 0;
}
return -1 + flag;
}
if (bl[l] == bl[r])
return calc(l, r, x, y);
int ans = min(calc(l, R[bl[l]], x, y), calc(L[bl[r]], r, x, y));
int lx = disr[bl[l]][pot[bl[l]][x]];
if (lx < l)
lx = -inf;
int ly = disr[bl[l]][pot[bl[l]][y]];
if (ly < l)
ly = -inf;
for (int i = bl[l] + 1; i <= bl[r] - 1; ++i)
{
if (pot[i][x])
chkmin(ans, disl[i][pot[i][x]] - ly);
if (pot[i][y])
chkmin(ans, disl[i][pot[i][y]] - lx);
if (pot[i][x])
lx = disr[i][pot[i][x]];
if (pot[i][y])
ly = disr[i][pot[i][y]];
chkmin(ans, dis[i][pot[i][x]][pot[i][y]]);
}
int rx = disl[bl[r]][pot[bl[r]][x]];
if (rx > r)
rx = inf;
int ry = disl[bl[r]][pot[bl[r]][y]];
if (ry > r)
ry = inf;
return min(ans, min(rx - ly, ry - lx));
}
inline void deleted(int t, int px)
{
const int < = lim[t];
swap(rt[t][px], rt[t][lt]);
for (int i = 1; i <= lt; ++i)
swap(dis[t][px][i], dis[t][lt][i]), swap(dis[t][i][px], dis[t][i][lt]);
swap(disl[t][px], disl[t][lt]), swap(disr[t][px], disr[t][lt]);
swap(rpot[t][px], rpot[t][lt]), swap(pot[t][rpot[t][px]], px), --lim[t];
}
inline void cg(int t, int l, int r, int x, int y)
{
int ret = 0, &px = pot[t][x], &py = pot[t][y];
const int &_L = L[t], &_R = R[t];
for (int i = l; i <= r; ++i)
ret += col[find(i)] == x;
if (!ret)
return;
if (!py)
{
rpot[t][py = ++lim[t]] = y, disl[t][py] = inf, disr[t][py] = -inf;
for (int i = 1; i <= lim[t]; ++i)
dis[t][py][i] = dis[t][i][py] = inf;
}
for (int i = 1; i <= lim[t]; ++i)
dis[t][px][i] = dis[t][i][px] = inf;
for (int i = _L; i <= _R; ++i)
{
a[i] = col[find(i)];
rt[t][pot[t][a[i]]] = 0;
}
for (int i = l; i <= r; ++i)
if (a[i] == x)
{
a[i] = y;
--ret;
}
for (int i = _L; i <= _R; ++i)
ret += a[i] == x;
if (!ret)
deleted(t, px);
for (int i = _L; i <= _R; ++i)
{
if (!rt[t][pot[t][a[i]]])
col[rt[t][pot[t][a[i]]] = i] = a[i];
fa[i] = rt[t][pot[t][a[i]]];
}
upd_dis(t, _L, _R, y);
if (ret)
upd_dis(t, _L, _R, x);
for (int i = _R; i >= _L; --i)
disl[t][pot[t][a[i]]] = i;
for (int i = _L; i <= _R; ++i)
disr[t][pot[t][a[i]]] = i;
if (!ret)
px = 0;
}
inline void modify(int l, int r, int x, int y)
{
if (x == y)
return;
if (bl[l] == bl[r])
return cg(bl[l], l, r, x, y), void();
cg(bl[l], l, R[bl[l]], x, y);
cg(bl[r], L[bl[r]], r, x, y);
for (int t = bl[l] + 1; t <= bl[r] - 1; ++t)
{
int &px = pot[t][x], &py = pot[t][y];
if (!px)
continue;
if (!py)
{
rpot[t][py = px] = y, px = 0, col[rt[t][py]] = y;
continue;
}
fa[rt[t][px]] = rt[t][py], rt[t][px] = 0;
for (int i = lim[t]; i >= 1; --i)
{
chkmin(dis[t][py][i], dis[t][px][i]);
chkmin(dis[t][i][py], dis[t][i][px]);
}
chkmin(disl[t][py], disl[t][px]);
chkmax(disr[t][py], disr[t][px]);
for (int i = lim[t]; i >= 1; --i)
dis[t][px][i] = dis[t][i][px] = inf;
deleted(t, px), px = 0;
}
}
int op, l, r, x, y;
int main()
{
n = read(), q = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
a[i] = read();
init();
for (int i = 1; i <= q; ++i)
{
op = read(), l = read(), r = read(), x = read(), y = read();
if (op == 1)
modify(l, r, x, y);
else
{
int ans = query(l, r, x, y);
write(ans > n ? -1 : ans);
putchar('\n');
}
}
}
标签:P5692,明天,int,px,sqrt,bl,手牵手,pot,dis 来源: https://www.cnblogs.com/orzz/p/15849709.html