池化层 (Pooling Layers)

除了卷积层，卷积网络也经常使用池化层来缩减模型的大小，提高计算速度，同时提高所提取特征的鲁棒性，我们来看一下。

先举一个池化层的例子，然后我们再讨论池化层的必要性。假如输入是一个4×4矩阵，用到的池化类型是最大池化（max pooling）。执行最大池化的树池是一个2×2矩阵。执行过程非常简单，把4×4的输入拆分成不同的区域，我把这个区域用不同颜色来标记。对于2×2的输出，输出的每个元素都是其对应颜色区域中的最大元素值。

左上区域的最大值是9，右上区域的最大元素值是2，左下区域的最大值是6，右下区域的最大值是3。为了计算出右侧这4个元素值，我们需要对输入矩阵的2×2区域做最大值运算。这就像是应用了一个规模为2的过滤器，因为我们选用的是2×2区域，步幅是2，这些就是最大池化的超参数。

因为我们使用的过滤器为2×2，最后输出是9。然后向右移动2个步幅，计算出最大值2。然后是第二行，向下移动2步得到最大值6。最后向右移动3步，得到最大值3。这是一个2×2矩阵，即 f = 2 f=2 f=2 ，步幅是2，即 s = 2 s=2 s=2 。

这是对最大池化功能的直观理解，你可以把这个4×4输入看作是某些特征的集合，也许不是。你可以把这个4×4区域看作是某些特征的集合，也就是神经网络中某一层的非激活值集合。数字大意味着可能探测到了某些特定的特征，左上象限具有的特征可能是一个垂直边缘，一只眼睛，或是大家害怕遇到的CAP特征。显然左上象限中存在这个特征，这个特征可能是一只猫眼探测器。然而，右上象限并不存在这个特征。最大化操作的功能就是只要在任何一个象限内提取到某个特征，它都会保留在最大化的池化输出里。所以最大化运算的实际作用就是，如果在过滤器中提取到某个特征，那么保留其最大值。如果没有提取到这个特征，可能在右上象限中不存在这个特征，那么其中的最大值也还是很小，这就是最大池化的直观理解。

必须承认，人们使用最大池化的主要原因是此方法在很多实验中效果都很好。尽管刚刚描述的直观理解经常被引用，不知大家是否完全理解它的真正原因，不知大家是否理解最大池化效率很高的真正原因。

其中一个有意思的特点就是，它有一组超参数，但并没有参数需要学习。实际上，梯度下降没有什么可学的，一旦确定了 f f f 和 s s s ，它就是一个固定运算，梯度下降无需改变任何值。

我们来看一个有若干个超级参数的示例，输入是一个5×5的矩阵。我们采用最大池化法，它的过滤器参数为3×3，即 f = 3 f=3 f=3 ，步幅为1，即 s = 1 s=1 s=1 ，输出矩阵是3×3。之前讲的计算卷积层输出大小的公式同样适用于最大池化，即 n + 2 p − f s + 1 \frac{n+2p-f}{s}+1 sn+2p−f​+1 ，这个公式也可以计算最大池化的输出大小。

此例是计算3×3输出的每个元素，我们看左上角这些元素，注意这是一个3×3区域，因为有3个过滤器，取最大值9。然后移动一个元素，因为步幅是1，蓝色区域的最大值是9。继续向右移动，蓝色区域的最大值是5。然后移到下一行，因为步幅是1，我们只向下移动一个格，所以该区域的最大值是9。最后这三个区域的最大值分别为8，6和9。超参数 f = 3 ， s = 1 f=3，s=1 f=3，s=1 ，最终输出如图所示。

以上就是一个二维输入的最大池化的演示，如果输入是三维的，那么输出也是三维的。例如，输入是5×5×2，那么输出是3×3×2。计算最大池化的方法就是分别对每个通道执行刚刚的计算过程。如上图所示，第一个通道依然保持不变。对于第二个通道，我刚才画在下面的，在这个层做同样的计算，得到第二个通道的输出。一般来说，如果输入是 5 × 5 × n c 5×5×n_c 5×5×nc​ ，输出就是 3 × 3 × n c 3×3×n_c 3×3×nc​， n c n_c nc​ 个通道中每个通道都单独执行最大池化计算，以上就是最大池化算法。

另外还有一种类型的池化，平均池化，它不太常用。我简单介绍一下，这种运算顾名思义，选取的不是每个过滤器的最大值，而是平均值。示例中，紫色区域的平均值是3.75，后面依次是1.25、4和2。这个平均池化的超级参数 f = 2 ， s = 2 f=2，s=2 f=2，s=2 ，我们也可以选择其它超级参数。

目前来说，最大池化比平均池化更常用。但也有例外，就是深度很深的神经网络，你可以用平均池化来分解规模为7×7×1000的网络的表示层，在整个空间内求平均值，得到1×1×1000，一会我们看个例子。但在神经网络中，最大池化要比平均池化用得更多。

总结

总结一下，池化的超级参数包括过滤器大小 f f f 和步幅 s s s ，常用的参数值为 f = 2 ， s = 2 f=2，s=2 f=2，s=2 ，应用频率非常高，其效果相当于高度和宽度缩减一半。也有使用 f = 3 ， s = 2 f=3，s=2 f=3，s=2 的情况。至于其它超级参数就要看你用的是最大池化还是平均池化了。你也可以根据自己意愿增加表示padding的其他超级参数，虽然很少这么用。最大池化时，往往很少用到超参数padding，当然也有例外的情况，我们下周会讲。大部分情况下，最大池化很少用padding。目前 p p p 最常用的值是0，即 p = 0 p=0 p=0 。最大池化的输入就是 n H ∗ n W ∗ n c n_H*n_W*n_c nH​∗nW​∗nc​ ，假设没有padding，则输出 ⌊ n H − f s + 1 ⌋ ∗ ⌊ n W − f s + 1 ⌋ ∗ n c \lfloor \frac{n_H-f}{s}+1 \rfloor*\lfloor \frac{n_W-f}{s}+1 \rfloor*n_c ⌊snH​−f​+1⌋∗⌊snW​−f​+1⌋∗nc​。输入通道与输出通道个数相同，因为我们对每个通道都做了池化。需要注意的一点是，池化过程中没有需要学习的参数。执行反向传播时，反向传播没有参数适用于最大池化。只有这些设置过的超参数，可能是手动设置的，也可能是通过交叉验证设置的。

除了这些，池化的内容就全部讲完了。最大池化只是计算神经网络某一层的静态属性，没有什么需要学习的，它只是一个静态属性。

关于池化我们就讲到这儿，现在我们已经知道如何构建卷积层和池化层了。下节课，我们会分析一个更复杂的可以引进全连接层的卷积网络示例。

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