计算系数

\(x^ny^m\) 的系数分为两部分：一部分是本身带有的 \(a\) 和 \(b\)，用快速幂求解；另一部分是多项式造成的，通过二项式定理转化为求组合数。最后答案为 \(C_k^na^nb^m\)。

组合

模板题，用 Lucas 定理求解即可。

牡牛和牝

放入第 \(1\) 只牛，有 \(n\) 种选择。放入第 \(2\) 只牛，有 \(n-k\) 种选择。以此类推，最终答案为 \(\sum_{i=1}^nC_{n-(i-1)\times k}^i\)。

方程的解

看本蒟蒻写的题解

车的放置

分成 \(a\times b\) 和 \((a+c)\times d\) 两块矩形计算方案数。
在 \(n\times m\) 的方格中放入 \(k\) 个东西使他们不同行、不同列的方案数是 \(C_n^k\times C_m^k\times k!\)。

数三角形

正面不好考虑，因此考虑用所有情况减去共线的情况。
所有情况为从 \((n+1)(m+1)\) 个点中选三个点，即 \(C_{(n+1)(m+1)}^3\)。
共线的情况分为两种，第一种是行列共线，第二种是对角线共线。

1. 行列共线很简单，即 \(C_{n+1}^3\times(n+1)+C_{m+1}^3\times(n+1)\)
2. 对角线共线的方法比较巧妙，固定线段的一段为 \((0,0)\)，然后枚举线段的另一端，不妨设为 \((x,y)\)，不难证明这两点的连线间有 \(\gcd(x,y)-1\) 个整点（不包含两端）,然后将这条线进行上下左右平移，以及翻折即可。

Combination

模板题，用 Lucas 定理求解即可。

序列统计

共有 \(r-l+1\) 个数可以选，令 \(m=r-l+1\)，设这 \(m\) 个数在序列中分别出现了 \(x_i\) 次，则需要求 \(\sum_{i=1}^mx_i=n\) 有多少组解，与方程的解方法一样

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