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对解析几何中椭圆的基本认识

作者:互联网

椭圆的标准方程准确来说是在这个位置摆放的椭圆的方程。

图中的 \(C\) 是一个动点,椭圆的一个定义是,\(|AC|+|BC|=定值\),一般设这个定值为 \(2a\)。

\(|AB|\) 称为焦距,一般设为 \(2c\)。

一般设一个 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\),可以看出在图中所示的位置 \(|CD|=b\)。

很容易可以看出 \(b\) 是椭圆的短半轴长,另外,\(a\) 是椭圆的长半轴长。

椭圆的离心率是 \(e=\cfrac ca\),\(\dfrac ca=\sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\),可以看出,椭圆越扁,或者说越苗条,这个离心率就越大,同时 \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) 也越大,也就是说可以把离心率理解成两个焦点偏离中心的程度,而且这个离心率的大小在 \((0,1)\) 之间。


现在推导椭圆方程。

\[\begin{align} \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}&=2a\\ (x+c)^2+y^2&=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ a-\frac cax&=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ (a-\frac cax)^2&=(x-c)^2+y^2\\ (\frac{c^2}{a^2}-1)x^2-y^2&=c^2-a^2\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}&=1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1 \end{align} \]


这个方程可以有一些变形。

可以发现,椭圆的关键数据就是 \(a,b,c\)。

那么,如果长轴沿着 \(y\) 轴呢?尝试后可以发现,把标准方程的 \(x\) 和 \(y\) 交换就行了。

但是现在标准方程所能表示的也只有中心在原点,长轴平行于 \(x\) 或 \(y\) 轴的椭圆,虽说可以通过简单的平移让标准方程能表示的椭圆变多,但标准方程是不能表示平面中所有椭圆的。

顺便一提,当 \(a=b\) 时,椭圆变成一个圆,离心率为 \(0\),而且椭圆的方程此时也变成了圆的方程。

标签:方程,椭圆,frac,认识,dfrac,心率,sqrt,解析几何
来源: https://www.cnblogs.com/sirin0240/p/15840640.html