IEEE754浮点数表示法

IEEE二进制浮点数算术标准（ANSI/IEEE Std 754-1985）是一套规定如何用二进制表示浮点数的标准。就像“补码规则”建立了二进制位和正负数的一一对应关系一样，IEEE754规则说明了一个从二进制状态到实数集的一一映射的规则（当然事实上状态有限而实数无限，叫做“单射”更为合适）。

IEEE754的初标准在1985年发布，也是现在广为流传的版本，被大多数语言所采用。事实上后来已经有了更新的标准了，不过两者间没有太大的区别。因此了解老标准就可以。

浮点数是如何存储的

标准提供了四种最常见的规范：

1. 单精度(single)浮点(32bit)
2. 双精度(double)浮点(64bit)
3. 延伸单精度(extended single)浮点(43bit以上，很少用到)
4. 延伸双精度(extended double)浮点(79bit以上)。

沿用C/C++习惯，可以用float代指32位单精度浮点、double代表64位双精度浮点。以下主要以较短的float进行说明。

一个32位float型数用科学计数法表示，由符号位1位(sign)、指数位8位(exponent)和小数位23位(fraction)组成，在图里从左到右排列。

一个64位double型数由符号位1位、指数位11位和小数位52位组成，在图里从左到右排列。

• 符号位：1位，0表示正数，1表示负数
• 指数位：8/11位表示指数。可以表示256/2048种状态。
  然而指数是可正可负的。在标准里，我们没有选择用"补码规则"表示负数，而是选择直接向左平移（又叫阶码）。8位范围是\([0,255]\)，我们将它向左平移一半（取127），就变成了\([-127,128]\)，也就是说指数位减去127才是真实的指数（比如12(00001100)代表-125次方）。这里减去的数叫偏移量(biase)，对单精度来说是127，对双精度来说是1023。
• 小数位：23/52位，表示底数。显然底数的长度决定了类型的精度，决定了到底能存几位有效数字，而指数位只是表示小数点的位置

二进制里的科学计数法

十进制和二进制的互化大家都很熟悉，但是一般仅限于整数，许多计算器软件在二进制下甚至不能输入小数点。

不过小数的转化其实也是一个道理：对于整数位来说，第\(i\)位的1代表\(2^i\)，而小数点后的第\(i\)位1则代表\(2^{-i}\)。比如\(110.101_{bit}=4+2+\frac 12 +\frac 18=6.625\)

将十进制数化为二进制数就反过来弄：小数部分大于0.5，则第一位为1，小数部分"模0.5"后大于0.25，则第二位为1。。。比如\(0.875=0.111_{bit}\)

在十进制中，如果用科学计数法表示数，最规范的表示就是让底数的小数点之前仅有一位非零整数，便于用指数表示数量级。在二进制中，我们也这样干，并且可以得到更特殊的性质：二进制中的"非零整数"只能是1。也就是任意一个不是太接近0的数都可以表示为\(1.xxxx \times 2^{exp}\)的形式。因此在表示小数位时，我们将这个首位1省略，只保存小数部分，显然对于一个不是太接近0的数，这样的表示都是益于节省空间提高精度的。

写出一个数的浮点表示

• 实战演练：将\(78.625\)转化为浮点数形式。
  \(78.625\)的二进制形式是\(1001110.101\)，即\(1.001110101\times 2^6\)，而指数位\(6+127=133=10000101_{bit}\)，将底数的小数位后面补0到23位，得答案01000010100111010100000000000000

• 这是一个在线网站，可以验证答案

• 在C++中，浮点数是不能给二进制位赋值的。但是我们可以将32位整数赋值为对应的数，再用float指针来解析它，验证结果（后文也会写成16进制，节省空间）。

特殊的浮点位

IEEE754标准还提供了浮点数中一些特殊状态的表示。

非规约数 & 正零和负零

上述规则描述的是常规范围内的数如何表示，他们可以叫做规约数(normal number)。高位1的省略可以节省空间。这样最接近0的数（即0x00000000）值为\(\pm 2^{-127}\)

但是如果一个数太小，他的第一位有效数字（当然指二进制）在127位以后呢？即使小数点右移127位，最高位仍然是0，不能表示更小的数了。

为了表示更小的数，在指数位全为0时，我们丢掉最高位为1的束缚，将最高位规定为0，将"全0指数位"规定为-126而不是本来的-127，用于表示绝对值小于\(2^{-126}\)的数。

比如00000000000101000000000000000000，其值为\(0.00101\times 2^{-126}=1.01*\times 2^{-129}\)，表示出了更小的数。在这样的规则下，最接近0的数（即0x00000001）值为\(\pm 2^{(-127-23)=-149}\)，而全零位用来存储0。

这样的“全零位”，由于符号原因有两种（0x00000000和0x80000000），他们用于表示正零和负零。高级应用层面对于正零和负零的判定各不相同。在C++，正零和负零是相等的，并且都对应布尔值false（尽管负零的符号位）。我们不关心，我们只需要知道IEEE支持两种零的表示，并且在运算过程一个理论答案为零的结果既可能被计算为正零，也可能被计算为负零。

逐渐溢出

规格数的最小值为\(0(00000001)0..0_{bit}=2^{-126}\)，非规格数的最大值为\(0(0..0)1..1_{bit}=(1-2^{-23})2^{-126}\)，基本可以看做\(2^{-126}\)的开区间，从非规格数过渡到规格数时，相当于指数-126不变，底数进位到隐藏的高位。从而实现了平稳的值域过渡，刚好覆盖了实数轴，这种特性叫做逐渐溢出(gradual overflow)

更有意思的是，当二进制码从0x00000000不断递增时，他表示的浮点数值也是逐渐递增的。对于非规约数到规约数来说表现为"逐渐溢出"；对于规约数来说，小数部分没有全满的情况显然；而每当小数位全为1时，再下一个数应该是"逢二进一"（小数位清零，指数位加一），就好像小数位像指数位进位了一样（比如0(0..01)11..11对应浮点数的下一个数是0(0..10)00..00，而0(0..01)11..11对应整数的下一个数也是0(0..10)00..00）！根据这个特性，我们也可以对浮点数进行基数排序（先划分正负，同号的数将后31位任意切割为多个关键字后分别排序）。

无穷

为了表示状态"无穷"，同样只能从指数上动手脚。我们把指数全为1的状态"挖掉"，用于表示无穷等状态，如果一个数指数位全为1，小数位全为0，那么这个数就表示无穷。

显然无穷有两种，\(0(1..1)0..0_{bit}\)对应正无穷0x7f800000，\(1(1..1)0..0_{bit}\)对应负无穷0xff800000。无穷支持一些数学意义上的运算：

• 同号无穷被认为相等，正无穷>所有规约数>负无穷
• 无穷与规约数进行四则运算仍是无穷

C++用1/0.0或者1e1000或者1e10000000赋值就可以得到一个无穷，他们都是一样的无穷，本质上是表示"超过存储范围"。可以输出无穷，表示为inf和-inf。

非数值

实数范围里，有一些计算是没有结果，无法进行的。在标准里同样规定了一类数，用于保存这类结果，他们叫做非数值(not a number)。非数值与无穷一样使用全为1的指数位表示，为了区分开来，小数位全为0时表示无穷，其他所有情况表示非数值情况。

显然很多状态都可以表示非数值，但是他们不被加以区分，也不分+NaN或者-NaN，同时也不能参与运算。

• C++中，NaN与任何数的算数比较将返回false。即使是自身之间（实际上NaN==NaN、NaN<NaN、NaN>NaN均为假，只有NaN!=NaN为真）。NaN自身转化为bool值后为true

• 任何NaN参加的运算，结果仍然是NaN

C++中用sqrt(-1)、0.0/0.0或者inf-inf都将得到NaN，可以将其输出，表示为nan。

浮点数的范围和精度

对于32位规约数来说，指数位包括\([-127,128]\)，但是左右端点用来表示特殊数了，因此实际指数位\([-126,127]\)

首先是范围，这个很好计算。不妨只考虑正数，前面已经计算过最小的规约数为\(2^{-126}\)，而最大的规约数应该是\(0(11111110)1..1_{bit}\approx 2\times 2^{127}=2^{128}\)，因此极限范围就是\([2^{-126}，2^{128})\)，转化为十进制就约是\([1.175\times 10^{-38},3.403\times 10^{38}]\)。如果算上非规约数0x00000001，下界可以达到\(2^{-149} \approx 1.401\times 10^{-45}\)。

而关于精度也不难计算，精度即底数有效数字的位数，底数有23位，那么可以表示\(2^{23}\approx 10^{6.92}\)种有效数字，即两个形如\(1.xxxxx\)的23位数大致可以和十进制下的7位小数一一对应，7位以后不同的数字只能对应到同一个二进制数上。

浮点数是离散不均匀储存的

对于整数来说，32位二进制码与\([0,2^{32})\)的数一一对应，是多少就是多少。\([0,2^{32})\)里的全体整数可以看作对应关系的"值域"（一张数表）。如果赋值int a=3.4呢，值域里没有这个数！于是只能将它存为值域里最相邻的两个点之一（C++中浮点阶段为整数的规则是向0取整（做图时写错了应该是3），但是你也可以处理为向上取整，向下取整，或者四舍五入）。

而对于浮点数来说（仍以float为例），32位二进制码最多只能对应\(2^{32}\)个数，但是实数是无穷无尽的！因此，按照上面规则，除去无穷和非数值，每个状态计算出一个实数组成值域，float只能表示这些有限多的实数，对于不在"值域"内的数，只能选择将他存储为相邻的两个点之一（8388607.2在float范围里，但float的数表里没有这个数）。

显然，相邻两个数越近，误差越小，精度越高，小数部分越长，越能支持更大精度。如果只考虑同一个类型，float的精度是多少呢？

我们从1开始计算，1的表示为\(1*2^0\)，1的下一个数是\((1+2^{-23})*2^0\)，再下一个数是\((1+2^{-22})*2^0\)，由于实际指数为0，因此小数位每移动1，值就移动\(2^{-23}\approx 1.19\times 10^{-7}\)。

但是在2048附近呢？2048的表示为\(1*2^{11}\)，下一个数\((1+2^{-23})*2^{11}\)，再下一个数是\((1+2^{-22})*2^{11}\)，误差增大到了\(2^{-12}\approx 2.4\times 10^{-4}\)。

规律已经很显然了，和整数完全不同，浮点数的间隔是变化的，离0越远，间隔越大，并且每通过一个\(2^i\)，指数位就增大1，间隔增大一倍。用刚刚有效数字来理解，有效数字只有大约7位，随着整数部分越来越大，小数部分的位数会越来越短，在上图，间隔已经达到0.5，只能储存整数和"整数.5"。在数据达到\(2^{23}=8388608\)以后，间隔达到1，小数部分消失，小数都会舍入到整数。数据达到\(2^{24}=16777216\)以后.间隔变为2，已经不能精确存储整数了。

这也可以说明为什么float的范围看起来如此夸张，因为这不算真的可用范围，只是表示无穷以下的最大值而已。这个数可以表示为\(2^{60}\)，却不能表示\(2^{60}+1\)，也不能表示\(2^{60}+1e9\)，他的下一个数是\(2^{60}+2^{37}\)，这是完全不可用的。

冷知识：《我的世界》中当水平坐标超过一千万时，图像扭曲，加载异常，默认情况不能出现的5格跳，以及最终出现的边境之地等都被认为是浮点误差太大引起的

进制影响真实的储存位数

为什么0.1+0.2=0.300000000004？，一位有效数字也不能精确储存了？这是因为0.1和0.2知识看上去的一位，实际上是无限小数。

我们知道任何\(\frac pq\)只有在分母的因子都能被进制整除才能写成有限小数。比如10的因子只有2和5。所以\(\frac p{2^n5^m}\)无论分母多大也能除得尽。但\(\frac 13\)一个简单的数却只能写成无限循环。在之前的例子里，二进制有限小数化为十进制当然有限（显然），但十进制有限在二进制下不一定有限，因为二进制无法把数五等分。

• 0.2，按照开篇的规则，应该对应\(0.0011\ 0011\ 0011..._{bit}\)，在某一位后截断在存储，实际值不是0.2，是值域中最接近0.2的数。

• 0.99993896484375，尽管远大于7位，但它可以在二进制下完全表示\(1-2^{-14}=0.11111111111111_{bit}\)，因此完全储存在了float中， 体现出了超乎寻常的精度。

所以之前提到的精度只是约值，而且其意义应该是相邻两数的间隔值，即"存储值和实际值相减后大约第7位才有明显误差"。绝不是说"7位以下的数字能精确存储，7位以上的就截断到7位"。

其他类型的浮点数

以上说的都是32位，其实对于64位来说也是一样的，更进一步来说，现在的标准还指定各种位数浮点数的存储标准，一般来讲，位数越长，小数位越多，有效数字越多；同时指数位也越多，最大范围更大。虽然范围不一样，但他们的标准是一样的。

• 半精度(Half)(16bit)
  

• 四精度(Quadruple)(128bit)
  

• 八精度(Half)(256bit)
  

• 延伸精度与上面的又不太一样。（就好像32位整数相乘时，要取到64位一样）延伸精度可以视为"精度运算的中间变量"。延伸双精度定为79位以上，便于执行比双精度更精确的计算。一些储存标准中为扩展精度提供了专门的最高位。按照维基百科最高位的存在使延伸精度可以表示更多"额外状态"，比如运算中的精度损失。C++里long double可以实现延伸双精度，长度为80/96/128位。

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