数论杂项
作者：互联网
数论分块
结论：对于正整数 \(n\)，对于所有正整数 \(d\leq n\)，\(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor\) 最多有 \(\left\lfloor2\sqrt{n}\right\rfloor\) 种不同取值。
证明：对于 \(d\leq \sqrt{n}\)，\(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor\) 最多有 \(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor\) 种不同取值。对于 \(d\gt \sqrt{n}\)，\(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor\) 最多有 \(\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor\) 种不同取值。
对于上取整有类似结论。
结论：\(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor=k\) 时，\(d\) 的取值范围是 \(\frac n{k+1}\lt d\leq \frac nk\)
证明：由 \(\left\lfloor\frac nd\right\rfloor=k\)，得
\[\begin{aligned} d\times k\leq &n\lt d\times(k+1)\\ \frac n{k+1}\lt &d\leq \frac nk \end{aligned} \]所以当 \(\left\lfloor\frac ni\right\rfloor=\left\lfloor\frac nj\right\rfloor\) 时，\(j\) 的最大值为 \(\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor\)。
因此，枚举 \(i\) 时，跳过与当前除法向下取整结果相同的所有的 \(i\)，只需要将 \(i\) 设为 \(\left\lfloor\frac{n}{\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor}\right\rfloor+1\) 即可。
参考资料
标签：lfloor,right,frac,数论,rfloor,sqrt,杂项,left 来源： https://www.cnblogs.com/e3c8f1a924/p/15828265.html