图结构
作者：互联网
介绍：
图是一种复杂的非线性结构，图型结构在每个节点中的元素关系是任意的，图G由两个集合V和E组成，定义G=(V,E),其中V是点的有限非空集合，E是由V的点表示的边的集合。
对于图G，可大致分成两种方式，如果每条边都有方向称为有向图，否则是无向图。
在无向图中存在一条边表示(vi,vj)，称为边的两个端点，并称为邻接点，通常用n表示图中的结点数，用e表示图中边的数，不考虑结点到自身的边，任意结点都有边相连就称为完全无向图，在有向图中任意结点都有两个相反的边的称为完全有向图。
若在无向图中，顶点和顶点之间存在一条路径，如果路径长度处了顶点和终点为同一顶点外，其余顶点均不相同称为简单路径，若简单路径中起点和终点为同一顶点则称为回路或环。图中任意顶点之间存在路径，则称为连通图。无向图的极大连通子图称为连通分量。
在有向图中，对任意两个顶点之间互相有路径，则称为强连通图，有向图的极大连通子图称为强连通分量。
若在一个图的每条边上标上某种数字，称为边的全，边上带权的图称为带权图。
存储结构：
常用两种结构，邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是表示图形顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是具有n个顶点的图，则G邻接矩阵定义n阶方阵：
A[i][j] = {1 若(vi,vj) 或 <vi,vj> 是G的边}，{0 若（vi,vj）或<vi,vj> 不是G的边}
对于有向图，可以有两个矩阵，一个表示出边，另一个入边。由于无向图的邻接矩阵是对称的，可以采用压缩存储元素。
邻接表是图的一种链式存储结构。对于图中G中的每个顶点vi，把所有的邻接vi的顶点vj链接成一个单链表，称为vi的邻接表。
表中结点有两个域：其一为邻接点域（顶点），存储与vi关系的vj的值，其二，为指针域，存储下一个邻接结点。在每一个邻接顶点中存储一个顶点域和链表指针来读取图。
图的遍历：
深度优先遍历类似树的前序遍历，假设图的所有顶点没有访问过，则从图的中的任意顶点为起始点，标记访问过得顶点，然后依次遍历每个邻接点，直到起始点相通的顶点都被访问，重复直到图中所有顶点都被访问。对图进行深度优先遍历时，按顶点的先后顺序访问的顶点称为图的深度优先遍历序列。
广度优先搜索遍历，类似树的按层次遍历，通过图的层数来访问顶点，先被访问的顶点，其邻接点也被访问，符合队列先进先出。所以算法需要队列来记录被访问的顶点。
图的生成树和最小生成树：
在图的表示中，一般树定义为无回路的连通图，一个连通图的子图如果是包含所有顶点的树，称为生成树。生成树是连通图包含所有顶点的一个极小连通子图（边最少）。
最小生成树，采用不同的遍历算法生成不同的树，对于有权图把生成树各边的权值总和称为树的权，把权值最小的生成树称为最小生成树。
1.普里姆算法
假设G=(V,G)是具有n个顶点的连通图，T=(U,TE)是G的最小生成树，其中U是T的顶点集，TE是T的边集，U和TE的初值为空。算法开始，首先从V中任取一个顶点，将它放入U中，此时U={v1}。然后U是V的真子集，知道那些端点在T中，另一端的顶点在T外的所有边中，找一条最短（权值最小）的边，假定为（vi,vj），其中vi 属于U,vj 属于V-U，把vi和vj的边加入TE,顶点加入U,如此反复，直到U=V，TE包含n-1边，T就是最小生成树。
2.克鲁斯卡尔算法
假设G=(V，E)是一个具有n个顶点的连通图，T=(U，TE)是G的最小生成树，U的初值等于V，包含有G的全部顶点。T的初始状态包含n个顶点而无边的森林T=（V，Ø），将图G中的边按权值从小到大依次选取E中的边（u,v），若选取的边使生成树T不形成回路，则加入TE中，否则舍弃，如此进行直到TE中包含n-1边，此时T为最小生成树。
最短路径：
Dijkstra提出按路径长度递增的顺序产生顶点的最短路径算法，算法思想设有向图G=(V,E),其中V={1,2...n}，cost表示G的邻接矩阵，cost[i][j]表示有向边<i,j>的权。若不存在<i,j>，则权为无穷大。设S是一个集合，其中每一个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。设顶点v1是源点，集合S的初始只包含顶点v1。数组dist记录源点到其它顶点当前最短距离，其初值为dist[i]=cost[v1][i],i=2...,n。从S之外的顶点集合V-S选出一个顶点w，使dist[w]的值最小。从源点到达w只通过S中的顶点，把w加入集合S中并调整dist记录的从原点到V-S中每个顶点的距离，即从原来的dist[v]和dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值作为新的dist[v]。重复过程，直到S中包含V中其余顶点的最短路径。
标签：连通,vi,vj,生成,顶点,TE,结构 来源： https://www.cnblogs.com/Python-233/p/15590780.html