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2021/12/31 校内比赛

作者:互联网

Problem D

其实是道很简单的二分题但考场上我一直想的是贪心。

每一次操作,任选一个不变其余减 \(1\)。

那么二分答案,对于二分到的答案 \(mid\),我们计算 \(\sum\limits_{a_i<mid}(mid-a_i)\),如果小于等于 \(mid\) 就是合法答案。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。


Problem H

很容易想到的一个逆向思维是,所有的人不动,而是电线杆动。

那么怎么解决电线杆与分身的碰撞呢?我们以横向运动为例。

假设电线杆现在在 \((x_0,y_0)\) 点,要向右移动距离 \(l\),那么根据题意,满足 \(x\in[x_0,x_0+l]\) \(y=y_0\) 的分身都会被合并到点 \((x_0+l+1,y_0)\) 上。

合并直接用并查集即可,关键在于如何找到这些该合并的点。

我们考虑以 \(x\) 升序最为第一关键字,\(y\) 升序作为第二关键字排序,不难发现的是,我们需要的点在一个区间上。

由于需要动态维护,我们用 set 维护,操作的时候 lower_bound 找到所需区间第一个点即可。

同理,处理上下移动时,我们需要以 \(y\) 升序最为第一关键字,\(x\) 升序作为第二关键字排序,需要再来一个 set

对于时间复杂度,类似于启发式合并,是 \(O(n\log n)\)。


Problem I

分情况讨论:

因此,这道题中最复杂的部分其实就是如何做删边最短路。

我们先随便取出一条最短路,形成一条链。类似于断环法的思路,我们考虑删掉这条链上的一条边之后,以一条路径绕过这条边。

比如一条路径从 \(x\) 点从这条链出去,从 \(y\) 回来,那么这条路径就能作为 \(x\) 到 \(y\) 链上所有断边的"替代"。

按照这个思路,我们枚举每一条边 \((u,v,w)\),尝试用 \(d_1(u)+d_2(v)+w\) 来更新对应的区间。由于到 \(u\) 是用的最短路(即 \(d_1(u)\)),因此我们在找 \(x\) 点的时候也要满足最短路的要求(即 \(1-x-u\) 的最短路就是 \(1-u\) 的最短路),再跑一遍最短路就可以完成找 \(x\) 点。找 \(y\) 点的时候同理。

由于只需要区间取最小值,我们用线段树维护即可。

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。


Problem M

这好像是我做过的原题,但是时间太久远了我给忘了。

考虑到 \(n\) 很小,我们可以枚举行的所有状态,再枚举列贪心选择(\(1\) 比 \(0\) 多就翻),时间复杂度是 \(O(2^nm)\),需要优化。

设 \(a_i\) 表示状态为 \(i\) 的列的个数,\(b_i\) 表示在列在状态 \(i\) 时贪心选最少的 \(1\) 的个数。

举个例子,对于状态 \(10111100\),\(b_i=3\);对于状态 \(00010100\),\(b_i=2\)。

那么我们枚举行的状态 \(T\),有:

\[ans=\min_T\sum_{T\bigoplus i=j}a_ib_j \]

由于 \(T\bigoplus i=j\) 与 \(i\bigoplus j=T\) 等价,转化成:

\[ans=\min_T\sum_{i\bigoplus j=T}a_ib_j \]

后半部分是 FWT 的模板,直接做即可。

要注意的是,虽然答案在 \(nm\) 以内,但是做的时候可能会超 int 范围,要开 long long

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

标签:12,log,短路,2021,复杂度,升序,Problem,31,bigoplus
来源: https://www.cnblogs.com/seketsu/p/15811517.html