假定系统空间中存在某一点，其在广义坐标系 中用 来表示，其在惯性坐标系 中的位置则可以用下面的方式来表达：

        上式中  表示的是典型体  和参考体系  的相对阶数， 表示的在实际运动中相邻典型体的位置齐次变换矩阵，可以从表达式 1.22 中获得， 表示的是低序体算子。

        假定在系统空间中存在某一矢量，其在  中用  来表示，则对应的齐次坐标可以用以下的形式来反映：

        式中  表示  在对应的  轴、 轴和  轴上的投影，而  在  可用以下形式来反映：

        式中  表示的是实际运动中相邻的两个典型体之间的姿态齐次变换矩阵，可以根据实际的情况将机床进行抽象化看作是一个多体系统，在工件链，传感器链中分别构建典型体的右手直角坐标系体系分别用  ， 来表示。另外工件所在的坐标系可以用  来表示，传感器所在坐标系为  来表示，机床坐标系为  来表示。

1  机床坐标系综合误差模型

        设传感器成像点  在  中的齐次坐标为：

        在机床进行加工的过程中，可根据表达式 1.26 来分析传感器成像点  在机床坐标系  对应的坐标为：

        假设工件被探测点  在  中的坐标为：

        同样可以获得在加工中  在机床坐标系  中对应的坐标为：

         和  在理想的状态下是空间重合的，但是在实际的状况中两者却往往会出现分离的状况，从而可以将  和  的实际差值作为误差综合模型，具体表达方式如下所示：

        式中  、 和  分别表示综合误差在  方向、 方向和  方向上对应的分向量。

2  工件坐标系综合误差模型

        根据上述表达式 1.30 和 1.32 可以获得在实际加工过程中  在  中的齐次坐标，可以用以下的形式来表达：

        设传感器姿态  在传感器坐标系  中的齐次坐标为

        同理，在实际加工中， 在  中所对应的齐次坐标则可用以下表达式来表示：

        在加工中，机床各个轴之间存在相互联动，从而保障传感器在坐标体系中根据实现确定的轨迹  和姿态  进行运动，而在理想状态下  和  可以借助机床的无误差运动来实现，具体的情况可以用以下的形式来表达：

        式中  和  分别表示的是相邻的两个典型体之间理想运动状态下位置变换矩阵和姿态变换矩阵，可以分别根据表达式 1.24 和 1.25 来获得。

        在加工中各单元部件之间不可避免的会存在误差并且进行传递，从而导致了传感器的成像点、姿态之间与理想状态下的路径、姿态有误差。建模时传感器和工件做扫描运动时，传感器成像点轨迹、姿态与理想状态下的轨迹、姿态的误差可作为工件坐标系下的误差综合模型，可用以下的形式来表达：

        表达式 1.39 和 1.40 中  和  分别表示的是传感器成像点在工件坐标系下的实际位置和理想位置之间的偏差以及实际姿态和理想姿态之间的偏差状况。

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