对数函数

2022-01-05 10:33:57 作者：互联网

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知识剖析

对数的概念

① 概念
一般地，如果$a^x=N$($a>0$,且$a≠1$)，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的对数，记作$x=log_a N$.****
($a$底数，$N$真数，$log_a N$对数)
② 两个重要对数
常用对数以$10$为底的对数，$\log_{10}N$记为$\lg N$；
自然对数以无理数$e$为底的对数的对数，$\log_e N$记为$\ln N$．
③ 对数式与指数式的互化

④ 结论
$(1)$负数和零没有对数
$(2)\log_a a=1$，$\log_a 1=0$.
特别地，$\lg 10=1$，$\lg 1=0$，$\ln e=1$，$\ln 1=0$.

对数的运算

如果$a>0$，$a ≠ 1$,$M>0$,$N>0$, 有
①$\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N$
②$\log _{a} \dfrac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N$
③$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M(n \in R)$
④$a^{\log _{a} M}=M$
⑤ 换底公式
$\log _{a} b=\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}(a>0, a \neq 1, c>0, c \neq 1, b>0)$
利用换底公式推导下面的结论
①$\log _{a} b=\dfrac{1}{\log _{b} a}$
②$\log _{a} b \cdot \log _{b} c=\log _{a} c$
③$\log _{a^{m}} b^{n}=\dfrac{n}{m} \log _{a} b$
特别注意：$\log _{a} M N \neq \log _{a} M \cdot \log _{a} N$，
$\log _{a}(M \pm N) \neq \log _{a} M \pm \log _{a} N$

对数函数

① 对数函数的概念
函数$y=log_a x(a>0 ,a ≠1)$叫做对数函数，其中$x$是自变量.
② 图像与性质

经典例题

【题型一】对数的化简与求值

【典题1】求值$2 \log _{3} 2-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-5^{\log _{5} 3}+(\lg 5)^{2}+\lg 2 \times \lg 50$
【解析】$2 \log _{3} 2-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-5^{\log _{5} 3}+(\lg 5)^{2}+\lg 2 \times \lg 50$
$=\log _{3} 4-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-3+(\lg 5)^{2}+2 \lg 2 \cdot \lg 5+(\lg 2)^{2}$
$=\log _{3}\left(4 \times \dfrac{9}{32} \times 8\right)-3+(\lg 5+\lg 2)^{2}$
$=2-3+1$
$=0$．

【典题2】若$x$,$y$,$z∈R^+$，且$3^x=4^y=12^z$，$\dfrac{x+y}{z} \in(n, n+1)$，$n∈N$，则$n$的值是$\underline{\quad \quad }$.
【解析】令$3^x=4^y=12^z=k>1$．
则$x=\log _{3} k=\dfrac{l g k}{l g 3}$，$y=\log _{4} k=\dfrac{l g k}{\lg 4}$，$z=\log _{12} k=\dfrac{l g k}{l g 12}$．
${\color{Red}{(利用换底公式，把数值化为同底，有利于\dfrac{x+y}{z}求值去掉k)}}$
$\therefore \dfrac{x+y}{z}=\dfrac{\dfrac{\lg k}{\lg 3}+\dfrac{\lg k}{\lg 4}}{\dfrac{\lg k}{\lg 12}}=\dfrac{\lg 12 \cdot \lg 12}{\lg 3 \cdot \lg 4}$$=\dfrac{(\lg 3+\lg 4)^{2}}{\lg 3 \cdot \lg 4}=\dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2$，
${\color{Red}{(∵\dfrac{x+y}{z} \in(n, n+1)，∴要对\dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2进行估值，要把其值的整数部分求出)}}$
$\because 0<\dfrac{\lg 3}{\lg 4}<1$
$\therefore \dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}>2$${\color{Red}{(利用对勾函数可得) }}$
$\therefore \dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2>4$，
$\because \dfrac{\lg 4}{\lg 3}<2$,$\dfrac{\lg 3}{\lg 4}<1$$\therefore \dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2<5$,
则$x=\dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2 \in(4,5)=(n, n+1)$，
则$n=4$．

巩固练习

1(★)已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3^{x}(x \leq 0) \\ \log _{2} x,(x>0) \end{array}\right.$，则$f\left[f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]=$ $\underline{\quad \quad }$.

2(★)$(\lg 2)^{2}+\lg 5 \times \lg 20+(\sqrt{2016})^{0}+0.027^{-\dfrac{2}{3}} \times\left(\dfrac{1}{3}\right)-2=$ $\underline{\quad \quad }$．

3(★★)求值$\dfrac{\lg 8+\lg 125-\lg 2-\lg 5}{\lg \sqrt{10} \cdot \lg 0.1}=$ $\underline{\quad \quad }$．

4(★★)求值$2^{\log _{2} \dfrac{1}{4}}-\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-\dfrac{2}{3}}+\lg \dfrac{1}{100}+(\sqrt{2}-1)^{\lg 1}=$ $\underline{\quad \quad }$．

5(★★)若$a>1$，$b>1$且$\lg \left(1+\dfrac{b}{a}\right)=\lg b$，则$\lg (a-1)+\lg (b-1)$的值$\underline{\quad \quad }$．

6(★★★)已知$2^a=7^b=m$，$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2 b}=\dfrac{1}{2}$，则$m＝$ $\underline{\quad \quad }$.

7(★★★)已知$a>b>1$，若$\log _{a} b+\log _{b} a=\dfrac{5}{2}$，$a^b=b^a$，则$ab＝$ $\underline{\quad \quad }$．

答案

1.$\dfrac{1}{3}$
2.$102$
3.$-4$
4.$-3$
5.$0$
6.$28$
7.$8$

【题型二】对数函数的图象及应用

【典题1】函数$y=\log _{a}(|x|+1)(a>1)$的图象大致是(　　)

【解析】 ${\color{Red}{方法1}}$
$y=\log _{a}(|x|+1)=\left\{\begin{array}{c} \log _{a}(x+1), x \geq 0 \\ \log _{a}(-x+1), x<0 \end{array}\right.$，
因$a>1$，由对数函数的性质易得选$B$.
${\color{Red}{方法2\quad 函数图象变换}}$

故选$B$．
【点拨】涉及对数函数型的函数$y=f(x)$，往往需要得到其图象，方法有
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.

【典题2】设$a$,$b$，$c$均为正数，且$2^{a}=\log _{\dfrac{1}{2}} a$，$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{b}=\log _{\dfrac{1}{2}} b$，$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{c}=\log _{2} c$，则(　　)
A．$a<b<c$
B．$c<b<a$
C．$c<a<b$
D．$b<a<c$
【解析】分别作出四个函数$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$,$y=\log _{\dfrac{1}{2}} x$，$y=2^{x}$，$y=\log _{2} x$的图象，观察它们的交点情况．由图象知$a<b<c$．故选$A$．

【点拨】
①$2^{a}=\log _{\dfrac{1}{2}} a$中$a$是函数$y=2^x$与$y=\log _{\dfrac{1}{2}} x$的交点横坐标；
② 函数$y=2^x$与$y=\log_2⁡x$互为反函数，图象关于直线$y=x$对称. 函数$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$与$y=\log _{\dfrac{1}{2}} x$也是.

【典题3】已知$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3\left|\log _{3} x\right|, 0<x \leq 3 \\ (x-4)(x-6), x>3 \end{array}\right.$，若$f(a)=f(b)=f(c)=f(d)$，且$a<b<c<d$，则$abcd$的取值范围是$\underline{\quad \quad }$.
${\color{Red}{思考痕迹}}$ 已知条件$f(a)=f(b)=f(c)=f(d)$，相当于$y=f(x)$与一直线$y=k$相交于四个点，四点的横坐标是$a、b、c、d$，所以想到数形结合.
【解析】先画出$f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3\left|\log _{3} x\right|, 0<x \leq 3 \\ (x-4)(x-6), x>3 \end{array}\right.$的图象，如图

$∵a ,b ,c ,d$互不相同，不妨设$a<b<c<d$．
且$f(a)=f(b)=f(c)=f(d)$，$3<c<4$．
由图可知$|\log_3⁡a |=|\log_3⁡b |$，$c、d$关于$x=5$对称,
$∴-\log_3⁡a=\log_3⁡b$，$c+d=10$，
即$ab=1$,$c+d=10$，
故$a b c d=c(10-c)=-(c-5)^{2}+25$，
由图象可知$3<c<4$，
由二次函数的知识可知$21<-c^2+12c<24$，
$∴abcd$的范围为$(21 ,24)$．
【点拨】遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如$x=3$处.

巩固练习

1(★)已知$lga+lgb=0$，函数$f(x)=a^x$与函数$g(x)=-log_b⁡x$的图象可能是(　　)

2(★)已知图中曲线$C_1$,$C_2$,$C_3$,$C_4$分别是函数$y=\log _{a_{1}} x$，$y=\log _{a_{2}}x$，$y=\log _{a_{3}} x$，$y=\log _{a_{4}} x$的图象，则$a_1$,$a_2$,$a_3$,$a_4$的大小关系是(　　)

A．$a_4<a_3<a_2<a_1$
B．$a_3<a_4<a_1<a_2$
C．$a_2<a_1<a_3<a_4$
D．$a_3<a_4<a_2<a_1$

3(★★)已知函数$f(x)=|\ln x|$，若$0<a<b$，且$f(a)=f(b)$，则$a+5b$的取值范围是(　　)
A．$(2 \sqrt{5},+\infty)$
B．$[2 \sqrt{5},+\infty)$
C．$(6 ,+∞)$
D．$[6 ,+∞)$

4(★★)已知函数$f(x)=\left|\log _{a}\right| x-1||$$(a>0, a \neq 1)$，若$x_1<x_2<x_3<x_4$,$x_1 x_2 x_3 x_4≠0$且$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)$，则$x_1+x_2+x_3+x_4=$(　　)
A．$2$
B．$4$
C．$8$
D．随$a$值变化

5(★★★)已知函数$f(x)=\left|\log _{2}(x-1)\right|$，$g(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$，则图象交于$A(x_1 ,y_1)$，$B(x_2 ,y_2)$两点，则(　　)
A．$x_1 x_2<1$
B．$x_1+x_2>5$
C．$x_1+x_2>x_1 x_2$
D．$x_1+x_2<x_1 x_2$

6(★★★)已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l} \left|\log _{2} x\right|, 0<x \leq 8 \\ -\dfrac{1}{4} x+5, x>8 \end{array}\right.$，若$a ,b ,c$互不相等，且$f(a)=f(b)=f(c)$，则$abc$的取值范围是　　．

7(★★★)已知函数$f(x)=|\log_2⁡x |，$$g(x)=\dfrac{1}{2} x$，若对任意$x∈[a ,+∞)$，总存在两个$x_{0} \in\left[\dfrac{1}{2}, 4\right]$，使得$g(x)\cdot f(x_0)=1$，则实数$a$的取值范围是$\underline{\quad \quad }$．

答案

1.$B$
2.$B$
3.$C$
4.$B$
5.$C$
6.$(8 ,20)$
7.$[2 ,+∞)$

【题型三】对数函数的性质及应用

角度1 比较对数式的大小

【典题1】已知$a=\log _{2} 7$,$b=\log _{3} 8$,$c=0.3^{0.2}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系为(　　)
A．$c<b<a$
B．$a<b<c$
C．$b<c<a$
D．$c<a<b$
【解析】由题意，可知$a=\log_2⁡7>\log_2⁡4=2$，
$c=0.3^{0.2}<0.3^{0}=1$，
$\because 1<\log _{3} 8<\log _{3} 9=2$
$\therefore 1<b<2$，
$∴c<b<a$．
故选$A$．

【典题2】设$a=\log _{2} 3$,$b=\dfrac{4}{3}$,$c=\log _{3} 4$，则$a$,$b$,$c$的大小关系为(　　)
A．$b<a<c$
B．$c<a<b$
C．$a<b<c$
D．$c<b<a$
【解析】$\because a=\log _{2} 3>\log _{2} 2^{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{4}{3}=b$，$b=\dfrac{4}{3}=\log _{3} 3^{\dfrac{4}{3}}>\log _{3} 4=c$
$∴a ,b ,c$的大小关系为$c<b<a$．
故选$D$．

【典题3】已知$a=\log _{5} 2$，$b=\log _{0.5} 0.2$，$c=0.5^{0.2}$，则$a$,$b$,$c$的大小关系为(　　)
A．$a<c<b$
B．$a<b<c$
C．$b<c<a$
D．$c<a<b$
【解析】由题意，可知$a=\log _{5} 2<1$，$c=0.5^{0.2}<1$，
$b=\log _{0.5} 0.2=\log _{\dfrac{1}{2}} \dfrac{1}{5}=\log _{2} 5>\log _{2} 4=2$，
${\color{Red}{(初步估值) }}$
$∴b$最大，$a、c$都小于$1$，
${\color{Red}{(b,c还比较不出来，进一步估值) }}$
$\because a=\log _{5} 2=\dfrac{1}{\log _{2} 5}<\dfrac{1}{2}$，$c=0.5^{0.2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\dfrac{1}{5}}=\sqrt[5]{\dfrac{1}{2}}>\dfrac{1}{2}$
$∴a<c$， ${\color{Red}{(引入第三数\dfrac{1}{2}比较)}}$
$∴a<c<b$，故选：$A$．
【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有
① 把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与$0$，$1$比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.

角度2 求解对数型不等式和方程

【典题1】方程$\log _{2}(x-1)=2-\log _{2}(x+1)$的解集为$\underline{\quad \quad }$．
【解析】$∵\log _{2}(x-1)=2-\log _{2}(x+1)$，
$∴\log _{2}(x-1)=\log _{2} \dfrac{4}{x+1}$，
$\therefore x-1=\dfrac{4}{x+1}$，解得$x=\pm \sqrt{5}$．
检验得$x=-\sqrt{5}$不符合， ${\color{Red}{ (注意真数的范围) }}$
$∴$方程$\log _{2}(x-1)=2-\log _{2}(x+1)$的解集为$\{\sqrt{5}\}$
故答案为$\{\sqrt{5}\}$．

【典题2】不等式$\log _{2}\left(x^{2}-1\right)<3$的解集为$\underline{\quad \quad }$.
【解析】$\log _{2}\left(x^{2}-1\right)<3$$\Leftrightarrow \log _{2}\left(x^{2}-1\right)<\log _{2} 8$
$∴0<x^2-1<8$ ${\color{Red}{(误解x^2-1<8) }}$
解得$-3<x<-1$或$1<x<3$.
【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了“对数$log_a x$中真数$x>0$”这点.

角度3 对数型函数综合问题

【典题1】函数$y=\log _{\dfrac{1}{2}}\left(x^{2}-6 x+17\right)$的值域是$\underline{\quad \quad }$ .
【解析】$∵t=x^2-6x+17=(x-3)^2+8≥8$
$∴$内层函数的值域$[8 ,+∞),$
而$y=\log _{\dfrac{1}{2}} t$在$[8 ,+∞)$是减函数，
故$y \leq \log _{\dfrac{1}{2}} 8=-3$
$∴$函数$y=\log _{\dfrac{1}{2}}\left(x^{2}-6 x+17\right)$的值域是$(-∞ ,-3]$.
【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.

【典题2】已知函数$f(x)$是$R$上的奇函数，且满足$f(x+2)=-f(x)$，当$x∈(0 ,1]$时，$f(x)=2^x-1$，则方程$f(x)=\log _{7}|x-2|$解的个数是$\underline{\quad \quad }$.
【解析】函数$f(x)$是$R$上的奇函数，$f(0)=0$，
由$f(x+2)=-f(x)$，可得$f(x+2)=f(-x)$，
$∴f(x)$的有条对称轴$x=1$，
由$f(x+2)=-f(x)$，可得$f(x+4)=f(x)$，
$∴f(x)$的周期$T=4$．
(注由以上已知，较容易画出$y=f(x)$的图象，作图步骤如下
① 画$f(x)=2^x－1 ,x∈(0 ,1)$

② 根据奇函数的性质

③ 由对称轴$x=1$可得

④ 由周期$T=4$可得
)
作出在同一坐标系中画$y=f(x)$和$g(x)=\log _{7}|x-2|$图象，

注意到$g(9)=1$,$g(-7)>1$， ${\color{Red}{(注意一些临界的位置) }}$
从图象不难看出，其交点个数$7$个．
【点拨】
① 遇到函数综合性质问题(有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；
②$(1)f(x+a)=f(x+b)$$⇒f(x)$的周期$T=a-b$
$(2)f(x+a)=f(b-x)$$⇒f(x)$的对称轴$x=\dfrac{a+b}{2}$
$(3)f(x+a)=-f(x)$$⇒f(x)$的周期$T=2a$
$(4)f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$$⇒f(x)$的周期$T=2a$.
【典题3】设$a>0$，$b>0$，则下列叙述正确的是(　　)
A．若$\ln a-2 b>\ln b-2 a$，则$a>b$
B．若$\ln a-2 b>\ln b-2 a$，则$a<b$
C．若$\ln a-2 a>\ln b-2 b$，则$a>b $ D．若$\ln a-2 a>\ln b-2 b$，则$a<b$
【解析】 ${\color{Red}{方法1 \quad构造函数法}}$
$∵y=\ln x$与$y=2x$均为增函数，
故$f(x)=\ln x+2x$在$(0 ,+∞)$上为增函数，
故$f(a)>f(b)⇔a>b>0$，
即$\ln a+2 a>\ln b+2 b \Leftrightarrow a>b>0$，
即$\ln a-2 b>\ln b-2 a \Leftrightarrow a>b>0$，
故选$A$．
${\color{Red}{方法2\quad 取特殊值排除法}}$
对于$A、B$，
令$a=1$，$b=\dfrac{1}{e}$，
代入$\ln a-2b>\ln b-2a$得$-\dfrac{2}{e}>-3$显然成立，
而$a>b$，此时可排除选项$B$；
对于选项$C、D$，
令$a=1$，$b=e$，代入$\ln a-2 a>\ln b-2 b$
得$-2>1-2e$显然成立，而$a<b$可排除选项$C$；
令$a=1$，$b=\dfrac{1}{e^{2}}$，代入$\ln a-2 a>\ln b-2 b$
得$-2>-2-\dfrac{2}{e^{2}}$显然成立，而$a>b$可排除选项$D$；
故选A．
【点拨】
① 方法1通过构造函数$f(x)=\ln x+2x$，利用其单调性进行选项判断.构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！
② 方法2“取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.

【典题4】已知函数$f(x)=\log _{3} \dfrac{1-x}{1+x}$．
(1)求函数$f(x)$的定义域；
(2)判断函数$f(x)$的奇偶性；
(3)当$x \in\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$时，函数$g(x)=f(x)$，求函数$g(x)$的值域．
【解析】(1)要使函数$f(x)=\log _{3} \dfrac{1-x}{1+x}$的解析式有意义，
自变量$x$须满足$\dfrac{1-x}{1+x}>0$，解得$x∈(-1 ,1)$，
故函数$f(x)$的定义域为$(-1 ,1)$；
(2)由(1)得函数的定义域关于原点对称，
且$f(-x)=\log _{3} \dfrac{1+x}{1-x}=-\log _{3} \dfrac{1-x}{1+x}=-f(x)$，
故函数$f(x)$为奇函数；
(3)当$x \in\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$时，
令$u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}=\dfrac{2}{1+x}-1$ ${\color{Red}{(分离常数法)}}$
${\color{Red}{(注函数图象如右图，由y=\dfrac{2}{x}向左向下平移一个单位得到的) }}$
故$u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}$在$\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$上为减函数，
则$u(x) \in\left[\dfrac{1}{3}, 3\right]$，
又$\because g(x)=f(x)=\log _{3} u$为增函数，
故$g(x)∈[-1 ,1]$，
故函数$g(x)$的值域为$[-1 ,1]$．
【点拨】
① 遇到形如$f(x)=\dfrac{a \cdot g(x)+b}{c \cdot g(x)+d}$的函数(比如$y=\dfrac{1-2 x}{1+x}$，$y=\dfrac{2^{x}-3}{2^{x}+4}$，$y=\dfrac{3 x^{2}+4}{x^{2}-1}$等)均可采取“分离常数法”，易求函数的单调性，对称性，最值等性质；
② 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.

【典题5】设$D$是函数$y=f(x)$定义域的一个子集，若存在$x_0∈D$，使得$f(x_0 )=-x_0$成立，则称$x_0$是$f(x)$的一个“准不动点”，也称$f(x)$在区间$D$上存在准不动点．
已知$f(x)=\log _{\dfrac{1}{2}}\left(4^{x}+a \cdot 2^{x}-1\right)$，$x \in[0,1]$．
(1)若$a=1$，求函数$f(x)$的准不动点；
(2)若函数$f(x)$在区间$[0 ,1]$上存在准不动点，求实数$a$的取值范围．
【解析】(1)当$a=1$时，
可得$f(x)=\log _{\dfrac{1}{2}}\left(4^{x}+2^{x}-1\right)=-x$，$x∈[0 ,1]$，
可得$4^x+2^x-1=2^x$，
即$4^x=1$，$∴x=0$．
当$a=1$，函数$f(x)$的准不动点为$x_0=0$．
(2) ${\color{Red}{方法1}}$ 由定义可得
方程$\log _{\dfrac{1}{2}}\left(4^{x}+a \cdot 2^{x}-1\right)=-x$在$x∈[0 ,1]$上有解
即方程$4^x+a⋅2^x-1=2^x$在$x∈[0 ,1]$上有解,
且$4^x+a\cdot 2^x-1>0$$(*)$
令$2^x=t$，$x∈[0 ,1]$，则$t∈[1 ,2]$，
那问题$(*)$转化为方程$t^2+(a-1)t-1=0$在$[1 ,2]$有解，且$t^2+at-1>0$，
令$g(t)=t^2+(a-1)t-1$，开口向上且$g(0)<0$，
所以$y=g(t)$在$[1 ,2]$上与$x$轴只有一个交点，
则只需要$g(1)g(2)≤0$，解得$-\dfrac{1}{2} \leq a \leq 1$，
${\color{Red}{(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)}}$
要使$t^2+at-1>0(1≤t≤2)$恒成立．
其对称轴$x=-\dfrac{a}{2}$，在$1≤t≤2$上是递增的，
当$t=1$时最小值，可得$a>0$．
综上可得实数$a$的取值范围是$(0，1]$．
${\color{Red}{方法2 }}$
与方法1同样得到方程$t^2+(a-1)t-1=0$在$[1 ,2]$有解，且$t^2+at-1>0$，
即$a=1-t+\dfrac{1}{t}$在$t∈[1 ,2]$上有解，
且$a>\dfrac{1}{t}-t$在$t∈[1 ,2]$上恒成立 ${\color{Red}{(分离参数法)}}$
由$h(t)=1-t+\dfrac{1}{t}$在$t∈[1 ,2]$上显然是减函数，
其值域为$\left[-\dfrac{1}{2}, 1\right]$，则$-\dfrac{1}{2} \leq a \leq 1$；
由$d(t)=\dfrac{1}{t}-t$在$t∈[1 ,2]$上显然是减函数，最大值为$d(1)=0$，则$a>0$,
综上可得实数$a$的取值范围是$(0,1]$．
【点拨】
① 在第二问中不要漏了$4^x+a\cdot 2^x-1>0$，求解过程中谨记等价转化，做到严谨；
② 第二问的方法1是采取了“二次方程根的分布问题”的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法2是采取分离参数法转而求最值,

巩固练习

1(★)若$a=\log _{2} 1.5$,$b=\log _{2} 0.1$,$c=2^{0.2}$，则(　　)
A．$c<b<a$
B．$b<c<a$
C．$a<b<c$
D．$b<a<c$

2(★★)设$a=\log _{\dfrac{1}{2}} 6$，$b=\log _{\dfrac{1}{4}} 12$，$c=\log _{\dfrac{1}{5}} 15$，则(　　)
A．$a<b<c$
B．$c<b<a$
C．$b<a<c$
D．$c<a<b$

3(★★)$f(x)$是定义在$R$上的函数，且$f(2-x)=f(x)$，当$x≥1$时，$f(x)=\log_2⁡x$，则有(　　)
A．$f\left(\dfrac{1}{3}\right)<f(2)<f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
B．$f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f(2)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)$
C．$f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)<f(2)$
D．$f(2)<f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)$

4(★★)不等式$\log _{2}\left(2^{x}-1\right) \cdot \log _{2}\left(2^{x+1}-2\right)<2$的解集为$\underline{\quad \quad }$．

5(★★)函数$f(x)=\log _{\dfrac{1}{3}}\left(x^{2}-3 x+2\right)$的单调递增区间为$\underline{\quad \quad }$ ．

6(★★)方程$\log _{2}\left(4^{x}-3\right)=x+1$的解集为$\underline{\quad \quad }$．

7(★★★)已知函数$f(x)=\log _{a}(x+1)$，$g(x)=2 \log _{a}(2 x+t)(t \in R)$，$a>0$，且$a≠1$．
(1)若$1$是关于$x$的方程$f(x)-g(x)=0$的一个解，求$t$的值；
(2)当$0<a<1$且$t=-1$时，解不等式$f(x)≤g(x)$；
(3)若函数$F(x)=a^{f(x)} +tx^2-2t+1$在区间$(-1 ,2]$上有零点，求$t$的取值范围．

答案

1.$D$
2.$A$
3.$C$
4.$\left(\log _{2} \dfrac{5}{4}, \log _{2} 3\right)$
5.$(-∞ ,1)$
6.$\{log_23\}$
7.$\text { (1) } t=\sqrt{2}-2$$\text { (2) } \dfrac{1}{2}<x \leq \dfrac{5}{4}$$\text { (3) } t \leq-2 \text { 或 } t \geq \dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$．

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