指数函数

2022-01-04 19:33:32 作者：互联网

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模块导图

知识剖析

指数运算

(1)$n$次方根与分数指数幂
一般地，如果$x^n=a$，那么$x$叫做$a$的$n$次方根，其中$n>1$，且$n∈N^*$.
式子$\sqrt[n]{a}$叫做根式，这里$n$叫做根指数，$a$叫做被开放数.****
负数没有偶次方根；$0$的任何次方根都是$0$.
注意：(1)$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$(2)当$n$是奇数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=a$，当$n$是偶数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|=\left\{\begin{array}{c} a, a \geq 0 \\ -a, a<0 \end{array}\right.$.
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：$a^{\dfrac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$\left(a>0, m, n \in N^{*}, \text { 且 } n>1\right)$
巧记“子内母外”(根号内的$m$作分子，根号外的$n$作为分母)
** ${\color{Red}{ Eg }}$**$\sqrt{x}=x^{\dfrac{1}{2}}$，$\sqrt[3]{x^{5}}=x^{\dfrac{5}{3}}$.
② 正数的正分数指数幂的意义：$a^{-\dfrac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\dfrac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}\left(a>0, m, n \in N^{*}, \text { 且 } n>1\right)$
③$0$的正分数指数幂等于$0$，$0$的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
①$a^s\cdot a^r=a^{r+s}$$(a>0,r,s∈R)$
②$\left(a^{s}\right)^{r}=a^{r s}$$(a>0, r, s \in R)$$(a>0, r \in R)$
③$(a b)^{r}=a^{r} b^{r}$$(a>0, r \in R)$

指数函数概念

一般地，函数$y=a^x$（$a>0$且$a≠1$）叫做指数函数，其中$x$是自变量，函数的定义域为$R$.

图像与性质

经典例题

【题型一】指数幂的化简与求值

【典题1】求值$\left(2 \dfrac{7}{9}\right)^{\dfrac{1}{2}}-(2 \sqrt{3}-\pi)^{0}-\left(2 \dfrac{10}{27}\right)^{-\dfrac{1}{3}}+0.125^{-\dfrac{2}{3}}+\sqrt{3} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}}$.
【解析】原式$=\left(\dfrac{25}{9}\right)^{\dfrac{1}{2}}-1-\left(\dfrac{64}{27}\right)^{-\dfrac{1}{3}}+\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\dfrac{2}{3}}+3^{\dfrac{1}{2}} \cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{\dfrac{3}{2}}$
$=\dfrac{5}{3}-1-\left(\dfrac{27}{64}\right)^{\dfrac{1}{3}}+\left(2^{-3}\right)^{-\dfrac{2}{3}}+3^{2} \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\dfrac{3}{2}}$
$=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+4+\dfrac{9}{8}$
$=\dfrac{121}{24}$.
【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.

【典题2】已知$x^{\dfrac{1}{2}}-x^{-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{5}$，则$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$的值为______.
【解析】由$x^{\dfrac{1}{2}}-x^{-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{5}$，两边平方得$x-2+x^{-1}=5$，则$x+\dfrac{1}{x}=7$，
所以$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=49 \Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+2=49$$\Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=47$
【点拨】注意$x^{\dfrac{1}{2}}-x^{-\dfrac{1}{2}}$，$x+\dfrac{1}{x}$，$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$之间平方的关系.

【典题3】化简$\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}$.
【解析】$\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}$
$=\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{2})^{2}}$
$=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}$
$=6$.
【点拨】化简形如$\sqrt{a+b \sqrt{m}}$的式子，利用完全平方数处理.

巩固练习

1(★)化简$\sqrt[3]{a \sqrt{a}} \div a^{\dfrac{7}{6}}(a>0)=$　　．

2(★★)如果$45^x=3$，$45^y=5$，那么$2x+y＝$　　．

3(★★)已知$a+\dfrac{1}{a}=7$，则$a^{\dfrac{1}{2}}+a^{-\dfrac{1}{2}}=$　　．

4(★★)$\left(2 \dfrac{1}{4}\right)^{\dfrac{1}{2}}-(-2)^{0}-\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\dfrac{2}{3}}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}=$　　．

5(★★)求值$\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=$　　．

6(★★★)已知实数$x$，$y$满足$3^x+3^y＝9^x+9^y$，则$\dfrac{27^{x}+27^{y}}{3^{x}+3^{y}}$的取值范围是　　.

7(★★★)已知$2^a=3^b=6$，则$a$，$b$不可能满足的关系是(　　)
A．$a+b=ab $ B．$a+b>4$ C．$(a-1)^2+(b-1)2<2$ D．$a^2+b2>8$

答案

1.$a^{-\dfrac{2}{3}}$
2.$1$
3.$3$
4.$\dfrac{1}{2}$
5.$4$
6.$\left(1, \dfrac{9}{8}\right]$
7.$C$

【题型二】指数函数的图象及应用

【典题1】函数$y=2^{|1-x|}$的图象大致是(　　)

【解析】
${\color{Red}{方法1}}$ 函数$y=2^{|1-x|}=\left\{\begin{array}{l} 2^{x-1}, x>1 \\ 2^{1-x}, x \leq 1 \end{array}\right.$，
${\color{Red}{(利用|x|=\left\{\begin{array}{c} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{array}\right.去掉绝对值把函数变成分段函数)}}$
$∴$当$x>1$时，$y=2^{x-1}$是增函数，当$x≤1$时，$y=2^{1-x}$的减函数，
且$x=1$时，$y=1$，即图象过$(1,1)$点；
$∴$符合条件的图象是$A$．
故选：$A$．
${\color{Red}{方法2}}$ 利用函数的图象变换

故选：$A$．

【典题2】设函数$f(x)=|2^x-1|$，$c<b<a$，且$f(c)>f(a)>f(b)$，判断$2^a+2^c$与$2$的大小关系.
【解析】$f(x)=|2^x-1|$的图象可看成$f(x)=2^x$向下平移一个单位，再把$x$轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，

由图可知，要使$c<b<a$且$f(c)>f(a)>f(b)$成立，
则有$c<0$且$a>0$，
故必有$2^c<1$且$2^a>1$，
又$f(c)-f(a)>0$，即为$1-2^c-(2^a-1)>0$，
$∴2^a+2^c<2$．
【点拨】涉及指数函数型的函数$y=f(x)$，往往需要得到其图象，方法有：
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.

巩固练习

1(★)二次函数$y=-x^2-4x(x>-2)$与指数函数$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$的交点个数有(　　)
A．$3$个
B．$2$个
C．$1$个
D．$0$个

2(★★)若函数$y=a^{|x|} +m-1(0<a<1)$的图象和$x$轴有交点，则实数$m$的取值范围是(　　)
A．$[1,+∞)$
B．$(0,1) $ C．$(－∞,1)$ D．$[0,1)$

3(★★)如图所示，函数$y=|2^x-2|$的图象是(　　)

4(★★)已知实数$a$，$b$满足等式$2^a=3^b$，下列五个关系式：①$0<b<a$；②$a<b<0$；③$0<a<b$；④$b<a<0$；⑤$a=b$．其中可能成立的关系式有(　　)
A．①②③
B．①②⑤
C．①③⑤
D．③④⑤

5(★★★)若$2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}$，则有(　　)
A．$x+y≥0$
B．$x+y≤0$
C．$x-y≤0$
D．$x-y≥0$

答案

1.$C$
2.$D$
3.$B$
4.$B$
5.$B$

【题型三】指数函数的性质及应用

角度1 比较指数式的大小

【典题1】设$y_{1}=4^{0.9}$，$y_{2}=8^{0.48}$，$y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}$，则(　　)
A．$y_3>y_1>y_2 $ B．$y_2>y_1>y_3 $ C．$y_1>y_2>y_3 $ D．$y_1>y_3>y_2$ **【解析】**利用幂的运算性质可得， $y_{1}=4^{0.9}=2{1.8}$，$y_{2}=8^{0.48}=2{1.44}$，$y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}=2{1.5}$，再由$y=2^x$是增函数，知$y_1>y_3>y_2$．故选：$D$．

【典题2】已知$a=0.7^{2.1}$，$b=0.7^{2.5}$，$c=2.1^{0.7}$，则这三个数的大小关系为(　　)
A．$b<a<c$
B．$a<b<c$
C．$c<a<b$
D．$c<b<a$
【解析】根据指数函数的性质可得：函数$y=0.7^{x}$是减函数，
$∵2.1<2.5$，$\therefore 0.7^{2.1}>0.7^{2.5}$，即$a>b$．
又$\because c=2.1^{0.7}>2.1^{0}=1$，$a=0.7^{2.1}<0.7^{0}=1$，
$∴c<a$，$∴b<a<c$，
故选：$A$．
【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有
① 把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与$0$，$1$比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.

角度2 求解指数型不等式和方程

【典题1】方程$4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0$的解是　　．
【解析】$4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0$，
即为$4 \times\left(2^{x}\right)^{2}-12 \times 2^{x}-16=0$
令$t=2^x>0$
则有$4t^2-12t-16=0$，解得$t=4$,$t=-1$(舍)
所以$2^x=4$，$x=2$
故答案为$x=2$．
【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后$t=2^x>0$是容易忽略的.

【典题2】解不等式$a^{2 x}+1<a^{x+2}+a^{x-2}(a>0)$
【解析】$\because a^{x+2}+a^{x-2}=\left(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\right) a^{x}$,
令$t=a^x$
原不等式变形得$t^{2}-\left(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\right) t+1<0$，
即$\left(t-a^{2}\right)\left(t-\dfrac{1}{a^{2}}\right)<0$，${\color{Red}{(注意因式分解)}}$
(1)当$a^{2}<\dfrac{1}{a^{2}}$，即$0<a<1$时，则$a^{2}<t<\dfrac{1}{a^{2}}$，即$a^{2}<a^{x}<\dfrac{1}{a^{2}}$，$∴-2<x<2$
(2)当$a^{2}>\dfrac{1}{a^{2}}$，即$a>1$时，则$\dfrac{1}{a^{2}}<t<a^{2}$，即$a^{-2}<a^{x}<a^{2}$，$∴-2<x<2$
(3)当$a^{2}=\dfrac{1}{a^{2}}$，即$a=1$时，无解．
综上，当$a≠1$时，$-2<x<2$；当$a=1$时无解．
【点拨】
① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于$1$还是小于$1$再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意$a=1$；
② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对$a^2$，$\dfrac{1}{a^{2}}$的大小比较是关键.

角度3 指数型函数综合问题

【典题1】已知定义在$R$上的函数$y=f(x$)满足：①对于任意的$x∈R$，都有$f(x+1)=\dfrac{1}{f(x)}$；②函数$y=f(x)$是偶函数；③当$x∈(0,1]$时，$f(x)=x+e^x$，则$f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$，$f\left(\dfrac{21}{4}\right)$，$f\left(\dfrac{22}{3}\right)$从小到大的排列是　 .
【解析】由题意$f(x+1)=\dfrac{1}{f(x)}$，故函数$y=f(x)$为周期为$2$的函数；
$f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)$；$f\left(\dfrac{22}{3}\right)=f\left(8-\dfrac{2}{3}\right)=f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)$；$f\left(\dfrac{21}{4}\right)=f\left(6-\dfrac{3}{4}\right)=f\left(\dfrac{3}{4}\right)$；
${\color{Red}{(把自变量数值向(0,1]靠拢) }}$
$∵$当$x∈(0,1]$时，$f(x)=x+e^x$是增函数，
故$f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{2}{3}\right)<f\left(\dfrac{3}{4}\right)$，
即$f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f\left(\dfrac{22}{3}\right)<f\left(\dfrac{21}{4}\right)$．

【典题2】若$e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}$，则有(　　)
A．$a+b≤0$
B．$a-b≥0$
C．$a-b≤0$
D．$a+b≥0$
【解析】 ${\color{Red}{方法一\quad 取特殊值排除法}}$
取$a=0$，$b=1$得$1+\pi \geq \dfrac{1}{e}+1$，满足题意，排除$A$,$B$；
取$a=1$，$b=0$得$e+1 \geq 1+\dfrac{1}{\pi}$，满足题意，排除$C$；
故选：$D$．
${\color{Red}{方法二\quad 构造函数利用单调性}}$
令$f(x)=e^{x}-\pi^{-x}$，则$f(x)$是增函数，
$\because e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}$$\Rightarrow e^{a}-\pi^{-a} \geq e^{-b}-\pi^{b}$，
$∴f(a)≥f(-b)$，即$a+b≥0$．
故选：$D$．
【点拨】
① 做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；
② 遇到类似这样的题目，不等式$e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}$的两边形式较为“一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式$e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}$变形成$e^{a}-\pi^{-a} \geq e^{-b}-\pi^{b}$，就较容易联想到构造函数$f(x)=e^{x}-\pi^{-x}$；
③ 判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.

【典题3】已知函数$f(x)=a^x$，$g(x)=a^{2x}+m$，其中$m>0$，$a>0$且$a≠1$．当$x∈[-1,1]$时，$y=f(x)$的最大值与最小值之和为$\dfrac{5}{2}$．
(1)求$a$的值；
(2)若$a>1$，记函数$h(x)=g(x)-2mf(x)$，求当$x∈[0,1]$时，$h(x)$的最小值$H(m)$．
【解析】(1)$∵f(x)$在$[－1,1]$上为单调函数，
$f(x)$的最大值与最小值之和为$a+a^{-1}=\dfrac{5}{2}$，
$∴a=2$或$\dfrac{1}{2}$．
(2)$∵a>1$$∴a=2$
则$h(x)=2^{2x}+m-2m×2^x$，
令$t=2^x$，
$∵x∈[0,1]$时，$∴t∈[1,2]$，
$h(x)=t^2-2mt+m$，对称轴为$t=m$
${\color{Red}{(二次函数动轴定区间最值问题)}}$
当$0<m<1$时，$H(m)=h(1)=-m+1$；
当$1≤m≤2$时，$H(m)=h(m)=-m^2+m$；
当$m>2$时，$H(m)=h(2)=-3m+4$．
综上所述，$H(m)=\left\{\begin{array}{l} -m+1,(0<m<1) \\ -m^{2}+m,(1 \leq m \leq 2) \\ -3 m+4,(m>2) \end{array}\right.$．
【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴$t=m$在区间$[1,2]$“左、中、右”进行分类讨论.

【典题4】已知函数$f(x)=9^{x}-3^{x+1}+c$(其中$c$是常数)．
(1)若当$x∈[0,1$]时，恒有$f(x)<0$成立，求实数$c$的取值范围；
(2)若存在$x_0∈[0,1]$，使$f(x_0)<0$成立，求实数$c$的取值范围；
(3)若方程$f(x)=c\cdot 3^x$在$[0,1]$上有唯一实数解，求实数$c$的取值范围.
${\color{Red}{思路痕迹}}$
(1) 恒成立问题可转化为求函数$y=f(x)$的最大值，见到$9^x$，$3^{x+1}$可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：
(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数$y=f(x)$的最小值.
(3) 该问转化为方程$t^2－(3+c)t+c=0$在$[1,3]$上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.
【解析】(1)$f(x)=9^{x}-3^{x+1}+c=\left(3^{x}\right)^{2}-3 \times 3^{x}+c$，
令$3^x=t$，当$x∈[0,1]$时，$t∈[1,3]$，
${\color{Red}{ (利用换元法要注意新变量的求值范围) }}$
问题转化为当$t∈[1,3]$时，$g(t)=t^2-3t+c<0$恒成立，
于是只需$g(t)$在$[1,3]$上的最大值$g(3)<0$，
即$9-9+c<0$，解得$c<0$．
$∴$实数$c$的取值范围是$(-∞,0)$；
(2)若存在$x_0∈[0,1]$，使$f(x_0)<0$，
则存在$t∈[1,3]$，使$g(t)=t^2-3t+c<0$．
于是只需$g(t)$在$[1,3]$上的最小值$g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-3 \cdot \dfrac{3}{2}+c<0$，解得$c<\dfrac{9}{4}$；
$∴$实数$c$的取值范围是$\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right)$；
(3)若方程$f(x)=c\cdot 3^x$在$[0,1]$上有唯一实数解，
则方程$t^2-(3+c)t+c=0$在$[1,3]$上有唯一实数解，
${\color{Red}{(一元二次方程根的分布问题) }}$
因$△=(3+c)^2-4c=c^2+2c+9=(c+1)^2+8>0$，
故$t^2-(3+c)t+c=0$在$[1,3]$上不可能有两个相等的实数解，
令$h(t)=t^2-(3+c)t+c$．
则$h(1)\cdot h(3)≤0$，所以$-2\cdot (-2c)≤0$，解得$c≤0$．
$∴$实数$c$的取值范围是$(-∞,0]$．
【点拨】利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.

【典题5】已知定义在$(-1,1)$上的奇函数$f(x)$．在$x∈(-1,0)$时，$f(x)=2^{x}+2^{-x}$．
(1)试求$f(x)$的表达式；
(2)若对于$x∈(0,1)$上的每一个值，不等式$t·2^x·f(x)<4^x-1$恒成立，求实数$t$的取值范围．
【解析】(1)$∵f(x)$是定义在$(-1,1)$上的奇函数，$∴f(0)=0$，
设$x∈(0,1)$，则$-x∈(-1,0)$，
则$f(x)=-f(-x)=-\left(2^{x}+2^{-x}\right)$，
故$f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.$
(2)由题意，$t·2^x·f(x)<4^x-1$可化为$t \cdot 2^{x} \cdot\left(-2^{x}-2^{-x}\right)<4^{x}-1$
化简可得$t>\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}$，
${\color{Red}{(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题) }}$
令$g(x)=\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}=-1+\dfrac{2}{4^{x}+1}$，${\color{Red}{ (分离常数法)}}$
易得$g(x)$在$(0,1)$上递减，
$\therefore g(x)<g(0)=-1+\dfrac{2}{4^{0}+1}=0$，
故$t≥0$． ${\color{Red}{(t可取到0) }}$
【点拨】
① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；
② 判断形如$y=\dfrac{a \cdot f(x)+b}{m \cdot f(x)+n}$函数的单调性，可用分离常数法；比如$y=\dfrac{-x+1}{2x+1}$，$y=\dfrac{2x^{2}-3}{x^{2}+1}$，$y=\dfrac{2^{x-1}+1}{2^{x}+1}$等.

巩固练习

1(★)设$a=0.6^{0.4}$，$b=0.4^{0.6}$，$c=0.4^{0.4}$，则$a,b,c$的大小关系为(　　)
A．$a<b<c$
B．$b<c<a$
C．$c<a<b$
D．$c<b<a$

2(★★)已知实数$a$，$b$满足$\dfrac{1}{2}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{a}>\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{b}>\dfrac{1}{4}$，则(　　)
A．$b<2 \sqrt{b-a}$
B．$b>2 \sqrt{b-a}$
C．$a<\sqrt{b-a}$
D．$a>\sqrt{b-a}$

3(★★)设$a>0$，$b>0$，下列命题中正确的是(　　)
A．若$2^a+2a=2^b+3b$，则$a>b$
B．若$2^a+2a=2^b+3b$，则$a<b$
C．若$2^a-2a=2^b-3b$，则$a>b$
D．若$2^a-2a=2^b-3b$，则$a<b$

4(★★)方程$4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0$的解是　　.

5(★★)若方程$\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1+a=0$有正数解，则实数$a$的取值范围是　　.

6(★★★)已知函数$f(x)=a^x (a>0,a≠1)$在$[-2,1]$上的值域为$[m,4]$，且函数$g(x)=\dfrac{3 m-1}{x}$在$(0,+∞)$上是减函数，则$m+a=$　　．

7(★★★)设不等式$4^x-m(4^x+2^x+1)≥0$对于任意的$x∈[0,1]$恒成立，则实数$m$的取值范围是　．

8(★★★)已知$f(x)=a-\dfrac{2}{3^{x}+1}(a \in R)$：
(1)证明$f(x)$是$R$上的增函数；
(2)是否存在实数$a$使函数$f(x)$为奇函数？若存在，请求出$a$的值，若不存在，说明理由．

9(★★★)设函数$f(x)=a^{x}-a^{-x}(a>0 \text { 且 } a \neq 1)$．
(1)判断函数$f(x)$的奇偶性；
(2)若$f(1)<0$，试判断函数$f(x)$的单调性．并求使不等式$f(x^2+tx)+f(4-x)<0$对一切$x∈R$恒成立的t的取值范围；
(3)若$f(1)=\dfrac{3}{2}$，$g(x)=a^2x+a^{-2x}-2mf(x)$且$g(x)$在$[1,+∞)$上的最小值为$-2$，求$m$的值．

10(★★★)已知函数$f(x)=a \cdot 4^{x}-2^{x+1}+a+3$.
(1)若$a=0$，解方程$f(2x)=-5$；
(2)若$a=1$，求$f(x)$的单调区间；
(3)若存在实数$x_0∈[-1,1]$，使$f(x_0 )=4$，求实数$a$的取值范围.

答案

1.$B$

2.$B$

3.$A$

4.$x=2$

5.$(-3,0)$

6.$1$

7.$\left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right]$

8.$(1)$略，提示：定义法$(2)$$a=1$

9.$(1)$奇函数$(2)-3<t<5$$(3) m=2$

10.$(1) x=1$

$(2)$单调增区间是$[0,+∞)$，单调减区间是$(-∞,0]$
$\text { (3) }\left\{a \mid 1 \leq a \leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}$

标签：指数函数,right,函数,dfrac,sqrt,pi,left
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