二项式反演目害证
作者：互联网
由于用了二项式反演，但是一直没证过，心里一直不踏实于是决定证一下
形式零
首先有多步容斥一开始的柿子：
\[|A_1\bigcup A_2 \bigcup A_3 ..... \bigcup A_n|=\sum\limits_{i=1}^n|A_i|-\sum\limits_{1<=i<j<=n}|A_i\bigcap A_j|+...+(-1)^{n-1}|A_1\bigcap A_2\bigcap A_3....\bigcap A_n| \]然后用\(A^c\)表示\(A\)的补集，则：
\[|A_1^c\bigcap A_2^c \bigcap A_3^c ..... \bigcap A_n^c|=|S|-\sum\limits_{i=1}^n|A_i|+\sum\limits_{1<=i<j<=n}|A_i\bigcap A_j|+...+(-1)^n|A_1\bigcap A_2\bigcap A_3....\bigcap A_n| \]然后原集变补集补集变原集：
\[|A_1\bigcap A_2 \bigcap A_3 ..... \bigcap A_n|=|S|-\sum\limits_{i=1}^n|A_i^c|+\sum\limits_{1<=i<j<=n}|A_i^c\bigcap A_j^c|+...+(-1)^n|A_1^c\bigcap A_2^c\bigcap A_3^c....\bigcap A_n^c| \]设\(f_i\)表示\(i\)个补集的交集大小，\(g_i\)表示\(i\)个原集的交集大小，根据上面则有：
\[f_n=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}g_i \]\[g_n=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}f_i \]这两个柿子相互等价，于是就有了形式零：
\[f_n=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}g_i\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}f_i \]形式一
\[f_n=\sum\limits_{i=1}^{n}\binom{n}{i}g_i\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f_i \]如果只证明上面的柿子，可以将形式零的\((-1)^ig_i\)设为\(h_i\)然后带入上式就能直接出。
再证明就把左边的柿子带到右边去，\(f_n\)：
\[=\sum\limits_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\sum\limits_{j=1}^{i}(-1)^{i-j}\binom{i}{j}f_j \]\[=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^i(-1)^{i-j}\binom{n}{i}\binom{i}{j}f_j \]然后有\(\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}\)
\[=\sum\limits_{j=1}^{n}\binom{n}{j}f_j\sum\limits_{i=j}^n(-1)^{i-j}\binom{n-j}{i-j}(-1)^{i-j} \]\[=\sum\limits_{j=1}^{n}\binom{n}{j}f_j\sum\limits_{t=0}^{n-j}(-1)^t\binom{n-j}{t}(-1)^{t}1^{n-j-t} \]由二项式定理得：
\[=\sum\limits_{j=1}^{n}\binom{n}{j}f_j(1-1)^{n-j} \]\[=\sum\limits_{j=1}^{n}\binom{n}{j}f_j[n=j] \]\[=\binom{n}{n}f_n \]\[=f_n \]然后这样形式一就有了，由上面的证明可以一样证出：
\[f_n=\sum\limits_{i=m}^n\binom{n}{i}g_i\Leftrightarrow g_n=\sum\limits_{i=m}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f_i \]然后一般就把\(f_i\)设成钦定（至多）选i个，\(g_i\)设成恰好选\(i\)个。
形式二
\[f_n=\sum\limits_{i=n}^{m}\binom{i}{n}g_i\Leftrightarrow g_n=\sum\limits_{i=n}^{m}(-1)^{i-n}\binom{i}{n}f_i \]证明类似，把右边带到左边，\(f_n\)：
\[=\sum\limits_{i=n}^{m}\binom{i}{n}\sum\limits_{j=i}^{m}\binom{j}{i}(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f_j \]\[=\sum\limits_{j=n}^{m}f_j\sum\limits_{i=n}^{j}(-1)^{j-i}\binom{i}{n}\binom{j}{i} \]\[=\sum\limits_{j=n}^{m}f_j\sum\limits_{i=n}^{j}(-1)^{j-i}\binom{j}{n}\binom{j-n}{j-i} \]\[=\sum\limits_{j=n}^{m}\binom{j}{n}f_j\sum\limits_{t=0}^{j-n}(-1)^t\binom{j-n}{t}1^{j-n-t} \]\[=\sum\limits_{j=n}^{m}\binom{j}{n}f_j(1-1)^{j-n} \]\[=\sum\limits_{j=n}^{m}\binom{j}{n}f_j[j=n] \]\[=f_n \]于是就有了形式二，然后一般就把\(f_i\)设成钦定（至少）选i个，\(g_i\)设成恰好选\(i\)个。
标签：limits,目害证,sum,柿子,反演,bigcap,Leftrightarrow,binom,二项式 来源： https://www.cnblogs.com/letitdown/p/15747386.html