目录

• 前言
• 数理逻辑
  • 命题逻辑
    • 基本概念
    • 命题等价
    • 命题蕴含
    • 对偶与范式
    • 推理理论
  • 谓词逻辑
    • 基本概念
    • 谓词演算的等价式与蕴含式
    • 谓词演算的推理推论
• 集合论
  • 基本概念
    • 特殊运算
    • 运算性质
    • 包容排斥原理（容斥原理）
  • 序偶与笛卡尔积
  • 关系
    • 关系的基础概念
    • 关系的性质
    • 复合关系和逆关系
    • 闭包运算
    • 集合的划分
    • 等价关系与等价类
    • 相容关系
    • 序关系
  • 函数
    • 基本概念
    • 复合函数、特征函数与基数
• 代数系统
  • 代数结构
    • 基本概念
    • 半群、群、子群
    • 阿贝尔群、循环群
    • *置换群
    • 陪集和拉格朗日定理
    • 同态和同构
    • 环与域
  • 格和布尔代数
    • 格的基本概念
      • 特殊的格
    • 布尔代数
• 图论
  • 基本概念和性质
  • 特殊图

前言

本篇为《离散数学》学科的个人复习笔记，知识点有所偏重。
课本是上海科学技术文献出版社左孝凌版的《离散数学》。
课本中定义和定理过多，文章中只记录课本中和课堂上重要常用的的定义和定理，不会做深入的解释，会有一些疏漏。
因为部分符号打不出来，所以中间插入的图片会比较多。
正在更新中
以下是正文

离散数学主要分为四部分：

1. 数理逻辑
2. 集合论
3. 代数系统
4. 图论

数理逻辑

命题逻辑

古典逻辑

亚里士多德的三段论：

大前提 --> 小前提 --> 结论

莱布尼兹把推理归纳为符号计算，提出思维运算的思想。
布尔发明布尔代数,（亦可解释为集合代数）
摩根几乎同时独立地作出重要贡献
弗雷格第一个提出公理化谓语逻辑系统“概念文字”，是亚里士多德以来逻辑的重大进展，基本实现莱布尼兹的梦想。

数理逻辑的内容：

命题逻辑
谓词逻辑
公理化集合论
递归论
证明论

基本概念

定义：

命题是一个能判断真假的陈述句

命题不能是疑问句、命令句、感叹句等

真值的几点说明：

时间性
区域性
标准性

定义：

对于一个任意给定的命题，如果不能分解为更简单的命题，就称为原子命题，反之，成为复合命题。

命题联结词

否定，合取，析取，蕴含(条件)、等值

需要注意的有：

1. 条件（蕴含）：当且仅当 P 为真，Q 为假时，P→Q 为假；否则， P→Q 均为真。
   条件 → 决定了哪个作为前件，哪个作为后件。
2. 双条件（等值）：当且仅当P、Q相同的时候，P↔Q为真，否则为假。
3. 优先级：

否定 > 合取 > 析取 > 条件 > 双条件

4. 不可兼或 （不可兼析取）：▽
   （与异或相似）
   

例题：

公式分类

赋值永远是“真”值的式子称为永真公式，又称重言式。

赋值永远是“假”值的式子称为永假公式，又称矛盾式。

既有真值又有假值的式子称为可满足式

命题等价

定义

如果对两个公式Ａ，Ｂ不论作何种指派，它们的真值均相同，则称Ａ，Ｂ是逻辑等价的，亦说Ａ等价于Ｂ，记A⇔B.

定理

命题公式A⇔B的充要条件是A↔B为永真式。

常用等价式：

除了利用真值表的方法证明两个命题公式的等价，还可以采用等价代换（等价置换）的方法进行证明。

利用公式的等值演算，可以实现以下三个基本目的
判定命题公式的基本类型，即判定或证明一个命题公式为永真或永假
证明两个命题公式之间具有等值关系
对复杂的命题公式进行化简。

命题蕴含

定义

命题公式Ａ称为永真蕴含命题公式Ｂ，当且仅当Ａ→Ｂ是一个永真式，记作：Ａ=>Ｂ
注意 A=>B 与 A→Ｂ 的区别

其他联结词的补充：

对偶与范式

对偶

范式


简单合取式又称小项，真值表中小项为“真”，全体小项的析取式（即为主析取范式）为永真式。
简单析取式又称大项，真值表中大项为“假”，全体大项的合取式（即为主合取范式）为永假式。

对于任意命题公式，都存在与其等值的析取范式和合取范式。
真值表中小项为真，大项为假。

例：离散数学程序实验（C语言）——程序求主析取范式和主合取范式
输入一个逻辑表达式，根据真值表法求取该表达式的主合取范式和主析取范式。

算法思路：
把命题公式改为后缀表达式，并把后缀处理的结果保存在结构体里，对各个逻辑运算符号进行优先级的定义，按照后缀表达式的方法进行赋值计算并将结果输出存储为真值表。按照真值表选择输出主合取范式和主析取范式。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define T 1
#define F 0
struct Stack{
    int top;
    char zf[80];
}number={-1},symbol={-1};
//number储存后缀表达式结果
//symbol 操作符栈，用来保存操作符 
int book[26];//记录变元元素和个数 
int num=0;//记录变元的个数 
int alphabet_true_false[26];
int enum_result[80];
char str_copy[80];
void numbers(char str[]);
void strings(char str[]);
void reverse_polish(char s[]);
int check(int num);
void function(int num);

int main()
{
    int i=0;
    char str[80];
    printf("**************************************\n");
    printf("使用小写字母表示变元，\n使用‘&’表示合取，\n使用‘|’表示析取,\n使用‘>’表示条件,\n使用‘<’表示双条件\n");
    printf("**************************************\n");
    strings(str);
	reverse_polish(str);
    function(num);
    return 0;
}

void numbers(char str[]){
	int i,len=strlen(str);
	for(i=0;i<len;i++){
        if(str[i]>='a'&&str[i]<='z'){
            if(book[str[i]-'a']==0){ 
				book[str[i]-'a']=1;    
				++num; 
			} 
    	}      
    }
}
 
void strings(char str[]){
	int i;
    gets(str);
    strcpy(str_copy,str);
    
    numbers(str);//记录变元的个数,用全局变量num储存 
    int len=strlen(str);
    for(i=0;i<len;i++){
        switch(str[i]){
            case '!':str[i]=')'+5;break;
            case '&':str[i]=')'+4;break;
            case '|':str[i]=')'+3;break;
            case '>':str[i]=')'+2;break;
            case '<':str[i]=')'+1;break;    
        }
    }
}

void reverse_polish(char s[]){
    int i,len=strlen(s);
    for(i=0;i<len;i++){
        if(s[i]>='a'&&s[i]<='z'){//如果是命题变元就直接入number栈 
            number.zf[++number.top]=s[i];          
        }else if(s[i]>')'&&s[i]<=5+')'){        //符号为逻辑运算符
            if(symbol.top==-1||symbol.zf[symbol.top]==')'){  
                ++symbol.top;
                symbol.zf[symbol.top]=s[i];
            }else if(s[i]>=symbol.zf[symbol.top]){
                ++symbol.top;
                symbol.zf[symbol.top]=s[i];
            }else{
                while(symbol.top!=-1&&s[i]<symbol.zf[symbol.top]){
                    ++number.top;
                    number.zf[number.top]=symbol.zf[symbol.top];
                    --symbol.top;
                }
                --i;
            }
        }
		else if(s[i]=='('||s[i]==')'){  
		    if(s[i]=='('){
                ++symbol.top;
                symbol.zf[symbol.top]=s[i];
            }else{
                while(symbol.zf[symbol.top]!='('){
                    ++number.top;
                    number.zf[number.top]=symbol.zf[symbol.top];
                    --symbol.top;              
                }
                if(symbol.top!=-1)--symbol.top;
            }
        }       
    }
    while(symbol.top!=-1){
        ++number.top;
        number.zf[number.top]=symbol.zf[symbol.top];
        --symbol.top;                                
    }
}

int check(int num){
	struct Stack ans={-1};
	int i,k=0,len=0,temp;
	for(i=0;i<26;i++){
		if(book[i]){
			++len;
			alphabet_true_false[i]=enum_result[k++];

		}
	}
	for(i=0;i<=number.top;i++){
		if(number.zf[i]>='a'&&number.zf[i]<='z'){
			++ans.top;
			ans.zf[ans.top]=alphabet_true_false[number.zf[i]-'a'];
		}else{
			switch(number.zf[i]){
				case '.':
					ans.zf[ans.top]=!ans.zf[ans.top];
					break;
				case '-':
					ans.zf[ans.top-1]=ans.zf[ans.top-1]&ans.zf[ans.top];
					--ans.top;
					break;
				case ',':
					ans.zf[ans.top-1]=ans.zf[ans.top-1] | ans.zf[ans.top];
					--ans.top;
					break;
				case '+':
					ans.zf[ans.top-1]=!ans.zf[ans.top-1]|ans.zf[ans.top];
					--ans.top;
					break;
				case '*':ans.zf[ans.top-1]=
									 (!ans.zf[ans.top-1]|ans.zf[ans.top])
									&(!ans.zf[ans.top]|ans.zf[ans.top-1]);
					--ans.top;
			}
		}
	}
	printf("%4d\n",ans.zf[0]); 
	return ans.zf[0];
}

void function(int num){
	int i,j;
	int conjunction_top=-1,disjunction_top=-1;
	int result_conjunction[80]={0};
	int result_disjunction[80]={0};
	
	
	for(i=0;i<26;i++)
        if(book[i])printf("%4c|",i+'a');
	putchar(' '),puts(str_copy);
	for(i=0;i<(1<<num);i++){// 
		memset(enum_result,0,num);
		for(j=0;j<num;j++){
			if(i&(1<<(num-j-1))){
				enum_result[j]=T;
			}else{
				enum_result[j]=F;
			}
			printf("%4d|",enum_result[j]);
		}
		if(check(num)){
			result_disjunction[++disjunction_top]=i;
		}else{
			result_conjunction[++conjunction_top]=i;
		}
	}
	puts("\n主析取范式为：");
	for(i=0;i<=disjunction_top;i++){
		printf("m%d%s",result_disjunction[i],i^disjunction_top?"&":"");
	}
	puts("\n主合取范式为：");
	for(i=0;i<=conjunction_top;i++){
		printf("M%d%s",result_conjunction[i],i^conjunction_top?"|":"");
	}
}

推理理论

验证推理有效性的方法：

真值表
命题演算

命题演算三要素：

推理依据
推理规则
推理方法

推理规则：

P 规则（引入前提规则）：在推导的任何步骤上，都可以引入前提。
T 规则（引入结论规则）：在推导过程中，如果前面有一个或多个命题公式永真蕴含命题公式 S，那么就可以把公式 S 也引入到推导过程之中。
CP规则：如果H1∧H2∧…∧Hn∧R => S,则H1∧H2∧…∧Hn => R→S

推理依据：

主要指已知的逻辑等价式和逻辑蕴含式

推理方法：

直接证法
间接证法（反证法 和 附加前提条件证法）

直接推理
由一组前提，利用P规则，T规则直接推演得到有效结论的方法。
条件论证（附加前提条件证法）
如果要证明的结论是R→S形式，则可以把结论中R→S的前件R作为附加前提，与给定的前提一起推出后件S即可。
反证法：
要证明H1，H2，…，Hn=>C,只要证明 {H1，H2，…，Hn , ﹁C} 是不相容的即可
解释：要证明H1，H2，…，Hn=>C,只要证明 H1∧H2∧…∧H3=>F 即可

谓词逻辑

基本概念

在研究命题逻辑中，原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行分解，这样会产生两大缺点：
（1）不能研究命题内部的结构，成分和内部逻辑的特征；
（2）也不可能表达两个原子命题所具有的共同特征，甚至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。

因此：

我们可将原子命题分解成两部分：个体（名词，代词）+ 谓词（动词）。

在命题的研究中，基于谓词分析的逻辑，称为谓词逻辑。谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。

客观世界中可以独立存在的具体或抽象对象称为个体（客体）,表示个体的词称为个体词。若个体词以常量的方式表示特定个体，则称之为个体常量；若个体词以变量的方式泛指不确定的个体，则称之为个体变量。

表示个体（客体）特征、性质或关系的词，称为谓词。

谓词与个体常量一起可以表示一个命题

由一个谓词和一些个体变元组成的表达式，称为简单谓词函数。如果一个函数包含n个个体变元，则称为n元简单谓词函数。

谓词函数不是命题，只有当所有的个体变元都用确定的个体代入时，才表示一个命题

由简单谓词函数和命题连结词组成的表达式，称为复合谓词函数。

对于一个谓词函数，每个个体变元都有其取值范围，该取值范围，称为是该个体变元的个体域（论域）

全称量词
“∀”几种表达式的读法：
∀ x P(x)： “对所有的x，x 是…”；
∀ x ¬ P(x) ： “对所有x，x 不是…”；
¬∀ x P(x) ： “并不是对所有的x，x 是…”；
¬∀ x ¬ P(x) ： “并不是所有的x，x 不是…”。

存在量词
“∃”几种表达式的读法：
∃ x P(x)： “存在一个 x，使 x 是…”；
∃ x ¬ P(x) ： “存在一个 x，使 x 不是…”；
¬ ∃ x P(x) ： “不存在一个 x，使 x 是…”；
¬ ∃ x ¬ P(x) ： “不存在一个 x，使 x 不是…”。

例题：

约束变元
辖域：紧接在量词后面括号内的谓词公式。

例如 ∀x P(x) ，∃ x (P(x) ∧ Q(x)) 。
若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。

约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。
自由变元：当且仅当不受量词的约束。

对于一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式

谓词演算的等价式与蕴含式

谓词演算的推理推论

命题推理的基本元素 推理规则：P规则、T规则、CP规则
推理方法：真值表法、直接证法、间接证法
推理依据：等价式、蕴含式

在谓词演算中，由于在前提和结论中的谓词公式常带有量词，因而要使用命题演算的等价式和蕴含式需要消去和添加量词。

谓词演算的推理规则：
全称指定(US)、存在指定(ES)、全称推广(UG)、存在推广(EG)。

例题：

集合论

基本概念

集合定义：集合是包含不同对象的一个无序的聚集。集合元素在集合里面叫做A包含a，记作a ∈ A。

集合的描述有：列举法：一一列举几个里面的元素，还有采用集合构造器，叙述法。

集合相等：两个集合当且仅当它们拥有相同的元素。就是说：A与B是集合，则A与B相等的条件是当且仅当（任意X）(X∈A & X∈B)，若A与B相等，则A=B

特殊运算

运算性质

包容排斥原理（容斥原理）

序偶与笛卡尔积

序偶：有序二元组的称呼，可以看作一个有顺序的集合，记作<A,B>

序偶不同于集合的是序偶是有顺序的，<A,B> != <B,A>，相当于键值对。

笛卡尔积：A与B是集合，那么A与B的笛卡尔积相当于A*B，表示<a,b>,其中：a∈A ,b∈B

满足分配律：

关系

关系的基础概念

集合A与B的关系可以记作 AB里面的子集属于一个关系，也就是说，一个从A到B的二元关系就是AB的子集。

我们可以这么记：对于一个二元关系R，R里面的任意一个序偶<x,y>可以记作<x,y>∈R 或者<x,y> !∈ R

要么是xRy 或者 x !R y

前域：在二元关系<x,y> E R里面，由所有x组成的集合叫做前域。

值域：在二元关系<x,y> E R里面，由所有y组成的集合叫做值域。

域：由前域与值域最初 相当于前域与值域的并集。

关系矩阵：我们有两个有限集合：X = {x1,x2,x3,……,xm}，Y={y1,y2,y3,……,yn}，R是X到Y上的一个二元关系，那么就有相应的关系矩阵：M = [rij]m*n

关系的性质

自反的关系：R是集合X上面的二元关系，如果对于每一个x ∈X,有xRx，就称R是自反的。

反自反关系：我们在自反的基础上面不能出现xRx的情况。

对称关系：对于关系里面x,y ∈ X，每当xRy，就有yRx，就X上面关系R是对称的。

反对称关系：大概地说，集合 X 上的二元关系 R 是反对称的，当且仅当不存在X里的一对相异元素a, b，它们相互 R-关系于彼此

传递关系：对于x, y, z ∈ X，每当xRy, yRz时就有xRz,就称R在X上是传递的。

关系的性质

该有的序偶不能没有
自反性：应该含有所有<x, x>
对称性：如果有<x, y>就应该有<y, x>
传递性：如果有<x, y>和<y, z>就应该有<x, z>
该有的序偶没有就不满足

不该有的序偶不能有
反自反性：不应该含有任何<x, x>
反对称性：如果有<x, y>就不应该有<y, x>
不该有的序偶有了就不满足

从关系矩阵、关系图来判断五个性质:
1、自反的:
关系矩阵的对角线上元素全为1,关系图中每个结点均有自回路。
2、对称的:
关系矩阵是对称矩阵，关系图中若两个结点之间有有向弧，则必成对出现
3、反自反的:
关系矩阵中对角线元素全为0,关系图中每个结点都没有自回路。
4、反对称的:
关系矩阵以对角线对称的元素不能同时为1，(但可为对称阵，同时为0)
关系图中如果两个结点之间有有向弧，则不能成对出现。
5、传递性:
不能明确判断，只能用定义。

特殊关系的性质：

空关系： 反自反性，对称性，反对称性，传递性
全域关系：自反性，对称性，传递性
恒等关系：自反性，对称性，传递性

复合关系和逆关系

复合关系:
定义:

R是X到Y的关系，S是Y到Z的关系，则R和S的复合关系R°S称为R和S的复合关系，表示为: RoS=
{<x,z>|x∈X且z∈Z(y∈Y ,<x, y>∈R且<y,z> ∈S)}

复合关系相当于一个个元素进行传递，看是否满足传递关系。

逆关系:
R是X到Y的二元关系，把R中每一序偶的元素次序颠倒，得到的关系称为R的逆关系，记作R^c:

闭包运算

来自：https://blog.csdn.net/weixin_46503355/article/details/108060144

集合的划分

把一个集合A分成若干，叫做划分。

等价关系与等价类

若集合A上的关系R，满足自反性，对称性，传递性，则称R为A上的等价关系。

等价类：
商集：

R是A上等价关系，由R的所有等价类构成的集合，称为A关于R的商集。记作A/R。
即

等价关系与划分

相容关系

对于A上的关系R，若R是自反的，对称的，则称R是相容关系。

序关系

偏序关系
A上一个关系R，若R满足自反性，反对称性和传递性，则R是A上的一个偏序关系。记作≼
设≼为偏序关系, 如果<x, y>∈≼, 则记作 x≼y, 读作 x小于或等于y
序偶<A,≼ >称偏序集
在偏序集合<A,≼ > 中，设R为非空集合A上的偏序关系, x, y∈A, 如果 x ≺ y且不存在 z ∈ \in ∈A 使得 x ≺ z ≺ y, 则称 y 盖住（覆盖）x.
链与反链
在偏序集合<A,≼ > 中，在A的一个子集中，如果每两个元素都是有关系的，则称该子集为链。

如果子集中每两个元素是无关系的，则称这个子集为反链。

全序关系
在偏序集 <A,≼ >， 若A是一个链，则称<A,≼ >为全序集合（或线序集合）。在这种情况下，二元关系≼称为全序关系或线序关系。

哈斯图

对序关系关系图的一种简化画法

① 由于序关系自反，各结点都有环，省去；

② 由于序关系反对称且传递，所以关系图中任何两个不同的结点直接不会有双向的边或通路，所以省去边的箭头，把向上的方向定为箭头方向

③ 由于序关系传递，所以省去所有推定的边。

设<A,≼>为偏序集, B⊆A, y∈B.

若 ∀x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元.（唯一）
若 ∀x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元.（唯一）
若 ¬∃x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元.（局部最大）
若 ¬∃x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.（局部最大）

设<A, ≼>为偏序集, B⊆A, y∈A.

若 ∀x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为B的上界.
若 ∀x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为B的下界.
令C＝{y | y为B的上界}, 则称C的最小元为B的最小上界 或 上确界.
令D＝{y | y为B的下界}, 则称D的最大元为B的最大下界 或 下确界.

函数

基本概念

函数
设 F 为二元关系, 若任意x∈domF 都存在唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数

对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为F 在 x 的值.

f的前域就是函数f(x)的定义域，记作domf = X；
f 的值域 ranf ⊆ Y
集合Y称作 f 的共域.

满射：
若 ranf = Y,则称映射为满射（上映射）
单射（入射）：
不同x对应不同的y
双射：
若映射 f 既是满射，又是入射，则称这个映射是双射。

复合函数、特征函数与基数

设F, G是函数, 则F○G也是函数, 且满足

(1) dom(F○G)={x|x∈domF∧F(x)∈domG}
(2) 任意x∈dom(F○G)有F○G(x)=G(F(x))

反函数

设 f:A→B，且f为双射，则
f-1 :B→A，且f-1也为双射.
若 f: A→B 为双射，则 f-1: B→A 称为 f 的反函数 两个函数的复合是一个函数

特征函数

特征函数:
χA:E→{0,1}, χA(x)=1⟺x∈A
当 Φ⊂A⊂E时, χA是满射

基数

设A, B是集合, 如果存在着从A到B的双射函数（A到B是单射和满射）, 就称A和B是等势的, 记作A≈B. 如果A不与B 等势,
则记作A≉B.

也可定义为：

给出两个集合，两个集合的元素间一一对应，则A,B等势，记作A~B（双射）

N ≈ Z ≈ Q ≈ N×N

任何实数区间都与实数集合R等势

所有与集合A等势的集合所组成的集合，叫做集合A的基数，记作K[A]。

与自然数集合等势的任意集合称为可数的。

我们把有限集和可数集称为至多可数集。

可数集的任何无限子集是可数的

任一无限集，必含可数子集。
任一无限集，必与某一真子集等势。

若集合A到集合B存在一个入射，则A基数不大于B基数即A≤B。

代数系统

代数结构

基本概念

一个集合加上若干个运算就表示一个代数系统，记<A,f1,f2,······>。
对集合A，一个Aⁿ 到B的映射，成为A上的n元运算。

可以用运算表来分析代数系统。

性质：

封闭性：

x∈A,b∈A，a*b∈A；
满足性质时，运算表中：
运算表中每个元素都属于A。

交换律：
xy = yx；
满足性质时，运算表中：
运算表关于主对角线对称。
分配律：
x * (y ^ z) = (x ^ y ) * (x ^ z)；
无法从运算表中看出。
吸收律：
x * (y ^ z) = x
x ^ (y * z) = x
无法从运算表中看出。
等幂性：
x * x = x ；
满足性质时，运算表中：
主对角线上每一元素都与它所在行（列）表头元素相同。
零元：
x * ⊙ = ⊙；（右零元）
⊙ * x = ⊙；（左零元）
满足性质时，运算表中：
零元元素所对应的行和列中的元素都与该元素相同。

幺元（单位元）：
x * e = x;（右幺元）
e * x = x;（左幺元）
满足性质时，运算表中：
幺元所对应的行或列都与运算表中的行和列一致。

逆元：
x * y =e;（y是x的右逆元）
y * x = e;（y是x的左逆元）

其他定理：

零元不存在逆元
在满足结合律时，一个数的逆元是唯一的。
若a * a = a ，则a为等幂元。

半群、群、子群

广群： 满足封闭性的代数系统
封闭性

半群： 可结合的广群
封闭性、可结合

独异点： 存在幺元的半群
封闭性、可结合、存在幺元、

群： 任意元素存在逆元的独异点。
封闭性、可结合、存在幺元、两个元素间存在幺元

定理及推论

1. 独异点在运算表中没有相同的行与列。
2. (a^-1)^-1 = a ;
3. (a*b)^-1 = b^-1 * a^-1 ;
4. 有限群G中元素个数为有限群的阶数。
   整数集合<I,+>是个群。
5. 设<S,*>是半群、独异点或群，如果S是一个有限群，则必有a∈S，使得a * a = a。(存在等幂元)
6. 在群<G,>中，对于任意a,b,c属于G，如果ab = ac 或者ba = c*a ，则有b = c。（消去律）
7. 设S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 群的运算表<G,*>中的每一行或是每一列都是G的元素的一个置换。
8. 在群<G,*>中，除了幺元e，不可能有其他的等幂元。
9. 对于群<G,*>，设存在子集<S, >,那么<G,>中的幺元一定是<S, *>的幺元。
10. 对于群<G,*>，设存在子集<S, *>，若S={e},或者S = G，则称<S, *>是<G, *>的平凡子集。
11. 对于群<G,>，B是G的非空子集，若B是一个有限集，那么，只要运算 * 在B上封闭，则<B,>必然是 <G, *>的子群。

阿贝尔群、循环群

交换群，又称阿贝尔群，指运算满足交换律的群。

循环群：
设<G, *>为群，若在G中有一个元素a，是的G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a成为循环群的生成元。

生成元可不唯一。
任一个循环群必是交换群。

若G阶数为n，即 |G| = n，则 aⁿ = e ;
其中e为幺元，n是使 aⁿ = e 的最小正整数，称n为元素a的阶数。

*置换群

暂略。

陪集和拉格朗日定理

设<G, >是一个群，<H, >为一子群，a是G中元素：
aH={ah|h∈H} H关于a的左陪集
Ha={ha|h∈H} H关于a的右陪集
a称为陪集的代表元素

划分

每个元素非空。不存在空块
所有元素并集为G
任两个元素交集为空

等价关系
关系R满足自反、对称、传递

若<x,y>∈ R，称x等价于y，记作x~y

等价类
有等价关系的元素组成的一个集合，记为[a]_R

a称为[a]_R的代表元素

商集 A/R

以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集

子群的指数

G对H的陪集的集合的基数，即陪集的数目，记为[G:H ]

若A,B表示集合：

A和B的积：
AB = {a * b | a∈A , b∈B }

A和B的逆：
A^-1 = {a^-1 | a∈A }

拉格朗日定理：
H为G的子群，则：

R={<a,b>|a∈G,b∈G且a^-1 *b∈H}
R是G上的一个等价关系。
对于a∈G，若记[a]_R={x|x∈G且<a,x>∈R}，则[a]_R=aH
如果G是有限群，|G|=n，|H|=m，则m|n。（ | ：表示整除）

推论：

素数阶群的子群一定是平凡群。（质数阶的群不存在非平凡子群）
设<G,*>是n阶群，则对任意a∈G，有aⁿ=e
有限群中，元素的阶能整除群的阶
素数阶群一定是循环群，且每个非幺元均为生成元
设<G, *>是n阶有限群，那么对于任意的a∈G，a的阶必是n的因子且必有aⁿ = e，这里e是<G, *>的幺元，如果n为质数，则<G, *>必为循环群。

同态和同构

设<A， *>和<B, ^ >是两个代数系统。

f是A到B的一个映射。

对任意x,y∈A，有：
f(x * y ) = f(x) * f(y)
则称f为由<A， *>到<B, ^ >的一个同态映射。
记为 A ~ B
<f(A), *>为<A,⋆>的一个同态象

若f同时是双射，则称f为同构映射。
同构关系是等价关系

记作A ≌ B
性质：
若<G， *>是半群，则<f(G)， *>也是半群。
若<G， *>是独异点，则<f(G)， *>也是独异点。
若<G， *>是群，则<f(G)， *>也是群。

同态核：
设f为群<G， *>到群<G‘， *>的同态映射，e'为G’的幺元，记
Ker(f) = {x | x∈ G 且 f(x) = e' }
称Ker(f) 为同态映射f的核，简称同态核。

环与域

设<A, + , *>是一个代数系统， 若满足：

1. <A,+>是阿贝尔群（交换群）
2. <A, *>是半群
3. 运算* 对运算+满足分配律。 则称<A, + ,* >为环。

为了区别环中的两个运算，通常称＋运算为环中的加法，·运算为环中的乘法。
零元
加法单位元，记为0(θ)
单位元
乘法单位元，记为1
负元
加法逆元，记为-x
逆元
乘法逆元，记为x-¹

例子
<R,＋,·> 实数环
<Q,＋,·> 有理数环
<I,＋,·> 整数环
<M_n(I),＋, ·> n阶整数矩阵环
<N_k , ＋_k, ×_k> 模k整数环
<Z[i], ＋, ·>(Z[i]=a+bi,a,b∈Z,i²=-1) 高斯整数环 (复数)
<R[x] ,＋, ·> R[x]为实数多项式

设<A, + , *>是一个代数系统， 若满足：

1. <A,+>是阿贝尔群（交换群）
2. <A, *>是可交换独异点，且无零因子。
3. 运算* 对运算+满足分配律。
   则称<A, + ,* >为整环。

整环中的无零因子条件等价于乘法消去律。

设<A, + , *>是一个代数系统， 若满足：

1. <A,+>是阿贝尔群（交换群）
2. <A-{⊙}, *>是阿贝尔群
3. 运算* 对运算+满足分配律。
   则称<A, + ,* >为域。

性质：
1.域一定是整环。
2.有限整环必是域。
3.任一个环的同态象是一个环

设V1=<A,,∘>和V2=<B,⊛,◎>是两环，其中、∘、⊛和◎都是二元运算。
f 是从A到B的一个映射，使得

对∀a, b∈A有：
​ f(a*b)=f(a)⊛f(b) ​
f(a∘b)=f(a)◎f(b)

则称f是环V1到环V2的同态映射

分类
如果f是单射、满射和双射，分别称f是单同态、满同态和同构
同态像及其特性
<f(A),⊛,◎>是<A,*,∘>的同态像。

任何环的同态像是环

格和布尔代数

格的基本概念

设<A, ≤ >是一个偏序集，如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称<A, ≤ >为格。

在格<A, ≤ >中，定义∨和∧两个运算，a∨b表示求a和b的最小上界，a∧b表示求a和b的最大下届，分别称其为并运算和交运算。

全序集是一个格，不是所有偏序集都是格.

性质：

设<A, ≤ >为格是一个格，由<A, ≤ >为格诱导的代数系统为<A,∨,∧>，则<A,∨,∧>具有的性质有：

交换律：
a∨b=b∨a，a∧b=b∧a。
结合律：
a ∨（b∨c）=（a∨b）∨ c，
a ∧（b∧c）=（a∧b）∧ c。
吸收律：
a ∨（a∧b）= a，
a ∧（a∨b）= a。
幂定律：
a∨a = a
a∧a = a

定理：
设<A,∨,∧>为一个代数系统，其中∨和∧都是二元运算且满足交换性、结合性、吸收性，则A上存在偏序关系≤，使得<A,≤>是一个格。
（满足吸收律可推出它们一定满足幂等律。）

∨和∧不一定满足分配律，但是一定有分配不等式：
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
(a∧b)∨(a∧c)≤a∧(b∨c)

格的对偶原则：
可以参考之前对对偶规则的定义，对偶后用≥代替≤。

特殊的格

设<A, ≤ >为格是一个格，由<A, ≤ >为格诱导的代数系统为<A,∨,∧>

分配格
若代数系统满足分配律，则为分配格，
链一定是分配格
有界格
格有全上界和全下界。

有补格
每个元素都有补元

补元：
在有界格<A, ≤ >中，对于一个元素a,如果有b∈A,使得a∨b = 1，a∧b = 0，（1是格的上确界，0是格的下确界）
则b是a的补元
一个元素可以存在多个补元，也可以没有补元。

布尔格
有补分配格

布尔代数

一个有补分配格称为布尔格，由布尔格诱导的代数系统<A,∨,∧>称为布尔代数。

具有有限个元素的布尔代数叫做有限布尔代数

设<A, ≤ >是一个具有全下界0的有限格，则对于任何一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a小于等于b。

若a₁,a₂ ······a_n是A中满足a_i≤b的所有原子，则：
b = (a₁)∨(a₂)∨ ······ ∨(a _n)

图论

基本概念和性质

定义：
一个图是一个三元组<V(G) , E(G) , ∮ >
其中V(G)是一个非空的结点集合，
E(G)是边集合
∮是E到结点序偶的函数

一个结点的度数，用dut(V)表示

仅由孤立结点组成的图称为零点，仅由一个孤立结点构成的图称为平凡图。

定理：

1. 每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍
   ∑_v∈Vdeg(V) = 2 | E |
2. 在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个，
3. 含有平行边的图称为多重图
4. 不含由平行边和环的图称为简单图。

由n个结点的无向完全图记作K_n
n个结点的无向完全图K_n的边数为 n/2 * (n-1)

在有向图中,从顶点v0到顶点vn的一条路径是图中的边的序列,其中每一条边的终点是下一条边的起点。

路径与回路

—条路径中,如果同一条边不出现两次,则称此路径是简单路径。
—条路径中，如果同一顶点不出现两次,则称此路径是基本路径(或叫链)。
如果路径的始点v_o和终点v_n相重合,即v_o=v_n ,则此路径称为回路。
没有相同边的回路称为简单回路,通过各顶点不超过一次的回路称为基本回路。
路径P中所含边的条数称为路径P的长度。

在无向图G中，若结点u和结点v之间存在一条路，则称u和v是连通的。

结点之间的连通性是结点集上的等价关系，因此对应这个等价关系，我们可以对这个图G做出一个划分，把V分成非空子集V₁，V₂,V₃,······V_m，使得两个结点v_k和v_j是连通的当且仅当它们同属一个V_i。我们把子图G(V₁),G(V₂),······G(V_m)称作G的连通分支，把G的连通分支数目记作W（G）

若图G只有一个连通分支，则G是连通图

（如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图是连通图，否则称G是非连通图。）

子图
如果V(H)⊆V(G)且E(H)⊆E(G),则称H是G的子图，记作H⊆G。
生成子图
若H是G的子图且V(H)=V(G)，则称H是G的生成子图

最大度和最小度
Δ(G)为G的最大度
δ(G)为G的最小度

割点
设无向图G=<V,E>为连通图，若有点集V₁ 是V的子集，使得G中删除了V₁的所有结点以后，所得的图不是连通图，二删除除了V₁的任何真子集后，所得到的图仍是连通图，则称V₁为点割集，
若一个点构成点割集，则称这个点为割点。

连通度

k(G) = min{| V₁ | | V₁ 是G的点割集}
作为图G的点连通度（连通度）。

连通度数值上等于点割集元素个数，
表示为了产生一个不连通图需要删去的点的最少数目。

完全图中 K_p 中，
k(K_p) = p-1
且删去p-1个结点后会产生一个平凡图。

与点割集定义类似，我们定义边割集和割边（也称桥）

设无向图G=<V,E>为连通图，若边集E₁ 是E的子集，使得G中删除了E₁的所有边以后，所得的图不是连通图，二删除除了E₁的任何真子集后，所得到的图仍是连通图，则称V₁为边割集，
若一条边构成边割集，则称这个边为割边（或桥）。

同样与点连通度相似，我们定义边连通度：

λ(G) = min{| E₁ | | E₁ 是G的边割集}

边连通度数值上等于边割集元素个数，
表示为了产生一个不连通图需要删去的边的最少数目。
对平凡图可以定义λ(G) = 0，此外一个不连通图也有λ(G) = 0。

对于任何一个图，都有：

k(G) < λ(G) < δ(G)

一个连通无向图G中，结点v是割点的充要条件是：

存在两个结点u和w，使得u和w的每一条路都通过v。

弱连通性和强连通性：
一个有向图D=(V,E)，将有向图的所有的有向边替换为无向边，所得到的图称为原图的基图.
如果一个有向图的基图是连通图，则有向图D是弱连通的，否则称D为非连通的.
若D中任意两点u,v都有从u可达v，或从v可达u,则称D是单向连通的;
若D中每点u均可达其他任一点v,则称D是强连通的。

一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个结点一次。

在简单有向图中，具有强连通性的最大图，称为强分图。
具有单侧连通性的最大子图，称为单侧分图。
具有弱连通性的最大子图，称为弱分图。

图的矩阵表示
邻接矩阵

当v_i ,adj v_j 时，a _i*j = 1
当v_i nadj v_j 时或 i==j 时，a _i*j = 0
adj表示联结，nadj表示不联结

对于无向图，邻接矩阵是对称的。
定理：

设A(G)是图G的邻接矩阵，则(A(G))^l中的i行，j列元素a^l_i*j 等于G中联结v_i和v_j的长度为l的路的数目

可达性矩阵

当v_i 至少存在一条路到达 v_j 时，a _i*j = 1
当v_i 不存在一条路到达 v_j 时或 i==j 时，a _i*j = 0

完全关联矩阵和关联矩阵

关联矩阵M(G)是由 G的结点 和G的边集构成的

当v_i 关联 e_j 时，a _i*j = 1
当v_i 不关联 e_j 时，a _i*j = 0

从关联矩阵中可以得到：

1. 图中每一边关联两个结点，故M(G)的每一列只有两个1.
2. 每一行元素的和数是对应结点的度数。
3. 一行中元素全为0，其对应的结点为孤立节点。
4. 两个平行边其对应的两列相同。
5. 同一个图当结点或边的编序不同时，其对应的M(G)仅有行序和列序的不同。

完全关联矩阵
关联矩阵M(G)是由 G的结点 和G的边集构成的

当v_i 是 e_j起点 时，a _i*j = 1
当v_i 是 e_j终点 时，a _i*j = -1
当v_i 不关联 e_j 时，a _i*j = 0

如果一个连通图G有 r 个结点，则其完全关联矩阵M(G)的秩为r-1 ，即 rank M(G) = r-1。

特殊图

正在更新中

标签：关系,结点,复习,连通,元素,命题,笔记,离散数学,集合
来源： https://www.cnblogs.com/Ck-0ff/p/15743417.html