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根号科技学习

作者:互联网

普通分块

原理

非常简单且暴力,以区间加,区间和为例。

考虑把序列分成 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 块,其中第 \(i,(1 \le i \le \lfloor\sqrt{n}\rfloor)\) 段的边界是 $l=(i-1)\times \lfloor\sqrt{n}\rfloor +1,r=i \times \lfloor\sqrt{n}\rfloor $ 。

对于第 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 块,如果说第 \(\lfloor\sqrt{n}\rfloor\) 块的右边界没有达到 \(n\) ,那么就让第 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 块维护区间 \([i\times \lfloor \sqrt{n} \rfloor +1,n]\) 即可。

反之是不会有第 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 块的,因为此时 \(\lfloor\sqrt{n}\rfloor=\lceil\sqrt{n}\rceil=\sqrt{n}\)。

TFwTSK.png

然后预处理出每一个位置 \(i\) 在分块之后属于哪一个块 (\(\text{belong}_i\))。

对于每一个块,记录其左右边界以及块内和,并维护一个类似于懒标记的 \(\text{add}\),表示这个块里的所有数都被加过多少。

每次操作区间 \([l,r]\) 的时候分情况讨论:

  1. 如果 \(\text{belong}_l=\text{belong}_r\) ,那么直接暴力修改区间 \([l,r]\)。
  2. 反之,把这个区间两边非整块的部分暴力修改,然后为所有整块的部分打上标记。

TFDAGq.png

查询的时候也比较类似:

  1. 直接暴力扫一遍 \([l,r]\) ,求和即可(不要忘记把标记加上)
  2. 非整块部分暴力扫,整块部分用块内和加上 \(\text{add}\) 标记。

因为最多只有 \(\lceil\sqrt{n}\rceil\) 块,所以复杂度是 \(\text{O}((n+q)\times \sqrt{n})\)。

习题

LOJ6277. 数列分块入门 1

区间加单点查,只需要分块的时候记录 \(\text{add}\) 配以暴力修改。

查询时带上标记即可。

Code

Luogu3372 【模板】线段树 1

区间加区间和,分块之后按照上面“原理”部分的做法来就行。

只需要注意一下什么时候要更新块内和,什么时候要打标记就行。

Code

LOJ6278. 数列分块入门 2

区间加,区间查询比 \(c^2\) 小的数的个数。

首先继续分块,仍旧维护每一个块的 \(\text{add}\) 标记。

考虑如何查询区间有多少个数比 \(c^2\) 小。

沿用“小段朴素,大段维护”的思想,我们在查询时在两边的两个不完整块进行暴力扫描。

然后对于每一个被包含的整块,考虑在块内二分。

为了二分,我们需要额外多对于每一个块维护一个有序的序列 \(v\) 。

当我们暴力修改小段的时候,这个小段所属的块的单调性就会改变,所以我们需要对这个块的 \(v\) 进行重排。

如果是大段打标记的话,因为块内每一个数都被加了同一个数,所以单调性不会改变,不需要重排。

那么大段查询的时候只需要把 \(c^2\) 减去每个块的标记之后然后二分就可以了。

初始化的时候不要忘记把元素扔进 \(v\) 里面!

Code

LOJ6279. 数列分块入门 3

区间加,区间询问前驱。

沿用上一个题的思想,我们小段暴力,大段二分。

但是如果直接对块内二分的话可能会因为没去重而爆炸。

所以我们考虑把上面那题的 std::vector 换成 std::set

那么只需要在每个块的 std::set 里面用 lower_bound 二分之后令迭代器减一,就可以了。

(因为 lower_bound 求的是大于等于 \(x\) 的最小元素的迭代器,迭代器在 std::set 里面减一之后就是前驱了)

当然,二分的时候一定要使用容器本身的lower_bound ,不然效率会及其低下(具体可以看这里)。

另外不要忘记初始化的时候把元素扔进 std::set 里面,也不要忘记判二分之后二分出 s.begin() 的情况。

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标签:二分,分块,text,标记,sqrt,学习,科技,区间,根号
来源: https://www.cnblogs.com/BTeqwq/p/sqrt-tech.html