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CINTA作业九：QR

作者：互联网

1、证明命题11.2

证明：

（1）封闭性：\forall a,b\in\mathbb{Q}\mathbb{R}_{p},(a*b)modp=QR\subseteq \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p} 

（2）结合律：\forall a,b,c\in \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p},有：

a\equiv {x_{1}}^{2}(mod p),b\equiv {x_{2}}^{2}(mod p),c\equiv {x_{3}}^{2}(mod p)

(a*b)*c\equiv (x_{1}^{2}x_{2}^{2})x_{3}^{2}(mod p), a*(b*c)\equiv x_{1}^{2}(x_{2}^{2}x_{3}^{2})(modp)

\therefore (a*b)*c=a*(b*c)

（3）单位元：易得单位元为1

（4）乘法逆元：

由费尔马小定理有
a^{p-1}\equiv 1(mod p)
aa^{-1}\equiv 1(modp)
a^{-1}=a^{p-2}
由封闭性得：a^{p-2}\in \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}

2、使用群论的方法证明定理11.1。

 证明：

构造一个映射\phi：\mathbb{Z}^{*}_{p}\rightarrow \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p},a\rightarrow a^{2}(mod \; p),\forall a\in \mathbb{Z}_{p}^{*}

有\phi (ab)=(ab)^{2}=a^{2}b^{2}=\phi (a)\phi (b)

即\phi是一种群同态

使K=ker\phi={1,p-1},有一标准同态\psi :\mathbb{Z}_{p}^{*}\rightarrow \mathbb{Z}_{p}^{*}/K

由第一同构定理得|\mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}|=|\mathbb{Z}_{p}^{*}|/|K|=(p-1)/2

 3、

 \psi (ab)=(\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=\psi (a)\circ \psi (b)

即\psi是一种同态

\because \forall a\in \mathbb{Z}_{p}^{*}

由定义易知，a为QR，则\psi (a)=1,a为QNR，则\psi (a)=-1

所以这是一个满射

所以这是一个群同态

4、设 p 是奇素数，请证明 Z∗p 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余。

5、证明命题11.4

 证明：

1、

当a是QR时，有a\equiv b\equiv x^{2}(mod\; p),即b是QR，有(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=1

当a是QNR时，a\equiv b\equiv x^{2}(mod\; p)，b是QNR，(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=-1

综上，证毕
2、

由命题十三有

a、b均为QR时，ab为QR，(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=1=(\frac{ab}{p})

a、b其中一个为QR、另一个为QNR时，ab为QNR,(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=-1*1=-1=(\frac{ab}{p})

a、b均为QNR时，ab为QR(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})=-1*(-1)=1=(\frac{ab}{p})

综上，证毕

3、

易知a^{2}=QR，有(\frac{a^{2}}{p})=1

 

 6、给出推论11.1的完整证明。

当p\equiv 1(mod\; 4),\exists k\in \mathbb{Z},p=4k+1,根据欧拉准则有：

(\frac{-1}{p})\equiv (-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{(4k+1-1)/2}\equiv 1(mod\; p)=1
当p\equiv -1(mod\; 4),\exists k\in \mathbb{Z},p=4k+3，根据欧拉准则有：

 

(\frac{-1}{p})\equiv (-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{(4k+3-1)/2}\equiv -1(mod\; p)=-1

标签：QR,QNR,同态,定理,作业,证明,ab,CINTA
来源： https://blog.csdn.net/N_Feng/article/details/121990157