「存图方式」学习笔记

我们既然正在学习 图论 ，那么我们就 必须 掌握几种 存图方式 。

PS:本文记点 $u$ 的 出度 为 $degree^{+(u)}$
1. 直接存图
用一个 结构体数组 $edge_i$ 来存图，结构体中包含这条边 $(u,v,w)$ 的 源点、汇点，权值 。

显然，此方法 空间复杂度 为 $O(m)$ ，查询某条边的时间复杂度 为 $O(m)$ 。

2. 邻接矩阵
邻接矩阵是一种 方便且容易理解 的存图方式。

其本质是一个数组 $grath_{i,j}\space(1\le i,j\le n)$ ，表示从点 $i$ 到点 $j$ 的权值。

显然，邻接矩阵的 空间复杂度 是 $O(n^2)$ 。

如此之高的空间复杂度，只要 $n\ge 10^4$ ， 内存就会超出限制 ，而且也不能应用在 有重边 的情况下。

但是，

在 稠密图 ( $m\approx n^2$ ) ，下，它比 直接存图的方式更优 ，因为要查询某一条边，两者的时间复杂度分别为 $O(m)$ 和 $O(1)$ 。

而接下来介绍的方法，比前两者 都更优秀 。

3. 邻接表 (链式前向星)

这种方法使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组， 如使用  vector<int>grath[n+1]  来存边，其中  grath[u]  存储的是点 $u$ 的所有出边的相关信息 (终点、边权等)。

而 链式前向星 就是用 链表 实现的 邻接表 。

此方式的时空复杂度 极其优秀：

查询是否存在边 $(u,v)$ ： $O(degree^{+(u)})$ ，可优化到 $O(\log(degree^{+(u)}))$

遍历点 $u$ 的所有出边 (即以点 $u$ 为源点的边)： $O(degree^{+(u)})$

遍历整张图： $O(n+m)$

空间复杂度： $O(m)$

总结：
如果是在 稠密图且没有重边 的情况下，可以使用 邻接矩阵 。

如果要像 $Kruskal算法$ 一样按照 边权大小 进行排序，则 必须使用直接存图 。

一般情况下，请使用 邻接表 或 链式前向星 。

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来源： https://www.cnblogs.com/CANTOR-SORT/p/15679749.html