【高等数学】伽马函数与斯特林公式
作者：互联网
伽马函数的背景
1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16…可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,…,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。欧拉于1729 年解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
伽马函数的推导过程
对
1
1
−
x
进
行
离
散
展
开
：
对\frac{1}{1-x}进行离散展开：
对1−x1进行离散展开：
1
1
−
x
=
Σ
k
=
0
∞
x
k
\frac{1}{1-x}=\Sigma^{\infty}_{k=0}x^k
1−x1=Σk=0∞xk
再
对
他
进
行
连
续
展
开
：
再对他进行连续展开：
再对他进行连续展开：
1
1
−
x
=
∫
0
+
∞
e
−
(
1
−
x
)
t
d
t
=
∫
0
+
∞
e
−
t
⋅
e
x
t
d
t
=
∫
0
+
∞
e
−
t
⋅
Σ
k
=
0
∞
(
x
t
)
k
k
!
d
t
=
Σ
k
=
0
∞
∫
0
+
∞
e
−
t
t
k
d
t
k
!
x
k
\frac{1}{1-x}=\int^{+\infty}_0e^{-(1-x)t}dt\\=\int^{+\infty}_0e^{-t}\cdot e^{xt}dt\\=\int^{+\infty}_0e^{-t}\cdot \Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{(xt)^k}{k!}dt =\Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt}{k!}x^k
1−x1=∫0+∞e−(1−x)tdt=∫0+∞e−t⋅extdt=∫0+∞e−t⋅Σk=0∞k!(xt)kdt=Σk=0∞k!∫0+∞e−ttkdtxk
由 此 可 知 ： Σ k = 0 ∞ x k = Σ k = 0 ∞ ∫ 0 + ∞ e − t t k d t k ! x k 即 k ! = ∫ 0 + ∞ e − t t k d t 由此可知：\Sigma^{\infty}_{k=0}x^k=\Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt}{k!}x^k\\ 即k!=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt 由此可知：Σk=0∞xk=Σk=0∞k!∫0+∞e−ttkdtxk即k!=∫0+∞e−ttkdt
我
们
设
伽
马
函
数
Γ
(
x
+
1
)
=
x
!
=
∫
0
+
∞
e
−
t
t
x
d
t
我们设伽马函数\Gamma(x+1)=x!=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^xdt
我们设伽马函数Γ(x+1)=x!=∫0+∞e−ttxdt
Γ
(
x
)
=
∫
0
+
∞
e
−
t
t
x
−
1
d
t
\Gamma(x)=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^{x-1}dt
Γ(x)=∫0+∞e−ttx−1dt
伽马函数与斯特林公式
lim
x
→
∞
Γ
(
x
)
=
2
π
e
−
x
x
x
−
1
2
\lim_{x\rightarrow\infty} \Gamma(x)=\sqrt{2\pi}e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}}
x→∞limΓ(x)=2π
e−xxx−21
lim
x
→
∞
x
!
=
2
π
x
(
x
e
)
x
\lim_{x\rightarrow\infty}x!=\sqrt{2\pi x}(\frac{x}{e})^x
x→∞limx!=2πx
(ex)x
标签：infty,frac,斯特林,lim,int,0e,伽马,高等数学 来源： https://blog.csdn.net/qq_52247089/article/details/121886167