[HEOI2016/TJOI2016]序列（CDQ分治优化DP）

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解题思路

题目和最长上升子序列比较像，我们考虑用\(dp\)来解决

设\(f_i\)表示以\(i\)这个位置结束的最长序列的长度，\(Max_i\)表示\(i\)这个位置最大的数，\(Min_i\)表示\(i\)这个位置最小的数，转移时枚举上一个选的元素\(j\)是哪个位置

因为最多只会变一个数，所以对于一个转移点\(j\)：

·如果是\(j\)的位置变化，那么必须满足它变的最大的数也是小于\(a_i\)的，也就是\(Max_j\leq a_i\)

·如果是\(i\)的位置变化，那么必须满足它变的最小的数也比\(a_j\)大，也就是\(a_j\leq Min_i\)
也就是我们的转移式是这样的

\[f_i=max(f_j|j<i,Max_j \leq a_i,a_j\leq Min_i)+1 \]

这个形式很像三维偏序的形式，可以使用树套树解决，不过我们知道CDQ可以解决一些树套树能够解决的问题，考虑用CDQ分治优化转移
我们回顾\(CDQ\)分治的过程，左半区间的\(dp\)值可以递归解决，然后我们就知道了左半部分每个位置的\(dp\)值，并且利用归并可以将左半区间的元素按照\(Max\)值升序排序，然后考虑处理左区间对右区间的转移

我们也可以提前对这些元素排序，满足右半部分的元素按照\(a_i\)升序排序，然后我们按照\(CDQ\)分治的套路，维护双指针\(i,j\)表示对于右半区间的元素\(j\)，左半区间\(Max\)小于等于\(a_j\)的最远的一个元素的位置是\(i\)，这样我们就解决掉了前两维的限制，之后再用树状数组维护第三维，就能完成转移了

然后再递归计算右半区间内部的转移

void CDQ(int l,int r)
{
	if(l==r) //边界条件
	{
		f[q[l]]=max(f[q[l]],1);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1,top=l;
	for(int i=l;i<=r;i++) if(q[i]<=mid) tmp[top++]=q[i]; //先按照第一维分成左右两部分
	for(int i=l;i<=r;i++) if(q[i]>mid) tmp[top++]=q[i];
	for(int i=l;i<=r;i++) q[i]=tmp[i];
	CDQ(l,mid); //递归计算左边
	top=l;
	int i=l,j=mid+1;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(Max[q[i]]<=a[q[j]])	add(a[q[i]],f[q[i]]),i++; //在保证第二维的情况下用树状数组维护第三维
		else f[q[j]]=max(f[q[j]],ask(Min[q[j]])+1),j++;			
	}
	while(j<=r) f[q[j]]=max(f[q[j]],ask(Min[q[j]])+1),j++;
	for(int k=l;k<=mid;k++) cover(a[q[k]],0);//清空树状数组
	CDQ(mid+1,r); //递归计算右半部分
	i=l;j=mid+1;top=l;
	while(i<=mid&&j<=r) //按照第二维归并，方便之后的计算
	{
		if(Max[q[i]]<=Max[q[j]]) tmp[top++]=q[i++];
		else tmp[top++]=q[j++];
	}
	while(i<=mid) tmp[top++]=q[i++];
	while(j<=r) tmp[top++]=q[j++];
	for(int k=l;k<=r;k++) q[k]=tmp[k];
}

关于这个转移顺序，不能写成下面这种

void CDQ(int l,int r)
{
	CDQ(l,mid);
	CDQ(mid+1,r);
	calc(l,r)
}

原因是我们进行\(dp\)的时候需要保证转移点的值是已经被完全计算好的，不会变的
但是如果按照上面的形式，我们左半区间的\(dp\)值，可能在更高一层才会被转移，所以当前这一层时\(dp\)值并没有被完全计算好，因此转移时错误的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+7;
typedef long long LL;
int tree[N];
int f[N];
int a[N];
int n;
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void add(int x,int v)
{
	for(int i=x;i<=1e5;i+=lowbit(i))
	tree[i]=max(tree[i],v);
}
int ask(int x)
{
	int res=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
	res=max(res,tree[i]);
	return res;
}
void cover(int x,int v)
{
	for(int i=x;i<=1e5;i+=lowbit(i))
	tree[i]=v;
}
int Min[N],Max[N];
int q[N],tmp[N];
void CDQ(int l,int r)
{

	if(l==r)
	{
		f[q[l]]=max(f[q[l]],1);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1,top=l;
	for(int i=l;i<=r;i++) if(q[i]<=mid) tmp[top++]=q[i];
	for(int i=l;i<=r;i++) if(q[i]>mid) tmp[top++]=q[i];
	for(int i=l;i<=r;i++) q[i]=tmp[i];
	CDQ(l,mid);
	top=l;
	int i=l,j=mid+1;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(Max[q[i]]<=a[q[j]])	add(a[q[i]],f[q[i]]),i++;
		else f[q[j]]=max(f[q[j]],ask(Min[q[j]])+1),j++;			
	}
	while(j<=r) f[q[j]]=max(f[q[j]],ask(Min[q[j]])+1),j++;
	for(int k=l;k<=mid;k++) cover(a[q[k]],0);
	CDQ(mid+1,r);
	i=l;j=mid+1;top=l;
	while(i<=mid&&j<=r)
	{
		if(Max[q[i]]<=Max[q[j]]) tmp[top++]=q[i++];
		else tmp[top++]=q[j++];
	}
	while(i<=mid) tmp[top++]=q[i++];
	while(j<=r) tmp[top++]=q[j++];
	for(int k=l;k<=r;k++) q[k]=tmp[k];
}
bool cmp(int x,int y)
{
	return a[x]<a[y];
}
int m;
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		scanf("%d",&x);
		Min[i]=Max[i]=x;
		a[i]=x;
		q[i]=i;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		Min[x]=min(Min[x],y);
		Max[x]=max(Max[x],y);
	}
	sort(q+1,q+n+1,cmp);
	CDQ(1,n);
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	ans=max(ans,f[i]);	
	cout<<ans;
	return 0;
}

标签：CDQ,int,dp,HEOI2016,区间,左半,转移,DP,TJOI2016
来源： https://www.cnblogs.com/jesoyizexry/p/15671273.html