1. 简介

• 完全二叉堆可用于实现优先队列。

• 当然，使用数组或列表也可以实现优先队列，但通常需要先将其中的所有数据进行排序才可，即首先维护一种全序关系。

• 但事实上，优先队列只要能够确定全局优先级最高的 entry 即可，而不要求全局先有序。

• 完全二叉堆无需先对所有数据进行排序即可确定全局优先级最高的 entry，因此更加适用于优先队列的实现。

2. 定义

• 结构性：完全二叉堆的逻辑结构就是一棵完全二叉树，但堆可以使用数组来实现。

• 堆序性：对于最小堆来说，堆中每个父节点都要小于等于其子节点；对于最大堆来说，堆中每个父节点都要大于等于其子节点。

• 设节点总数为 n n n，则堆的高度为 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)，插入操作、删除优先级最高的 entry 的操作的时间复杂度均为 O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)。

• 假设自顶向下对堆的每一层、从左到右对每个节点进行编号，且编号从 0 开始，则有：

  • 假设节点 x x x 的编号为 i i i，且存在左右孩子，则 x x x 的左孩子的编号为 2 i + 1 2i+1 2i+1，右孩子的编号为 2 i + 2 2i+2 2i+2；
  • 假设节点 x x x 的编号为 i i i，且存在父节点，则其父节点的编号为 ⌊ ( i − 1 ) / 2 ⌋ \lfloor (i-1)/2 \rfloor ⌊(i−1)/2⌋。

以下以最小堆为例。

3. 插入

假设待插入的 entry 为 e e e。

（1）首先在堆尾之后的一个位置插入一个新节点，并存储 e e e；
（2）假设当前节点为 x x x（初始时， x . e n t r y = e x.entry=e x.entry=e），其父节点为 p p p；
（3）如果 p . e n t r y ≤ x . e n t r y p.entry \le x.entry p.entry≤x.entry，则成功返回；否则，
（4）上虑：如果 x . e n t r y < p . e n t r y x.entry \lt p.entry x.entry<p.entry，则令 x . e n t r y x.entry x.entry 和 p . e n t r y p.entry p.entry 互换位置，然后令 x x x 指向 p p p，令 p p p 指向 p p p 的父节点，接着回到步骤（3）。

4. 删除

待删除的 entry 总是位于堆顶。

（1）首先，交换堆顶和堆尾的 entry，然后将堆的大小减一（堆尾前移），以删除堆顶元素（被删除的元素位于堆尾之后的一个位置）；
（2）令当前节点为 p p p（初始时， p p p 为堆顶）；
（3）令 x x x 为 p p p 的两个孩子节点中较小的一个；
（4）如果 p . e n t r y ≤ x . e n t r y p.entry \le x.entry p.entry≤x.entry，则成功返回；否则，
（5）下虑：如果 x . e n t r y < p . e n t r y x.entry \lt p.entry x.entry<p.entry，则令 x . e n t r y x.entry x.entry 和 p . e n t r y p.entry p.entry 互换位置，然后令 p p p 指向 x x x，接着回到步骤（3）。

5. 建堆

如下图所示，假设 H 0 , H 1 H_0, H_1 H0​,H1​ 是两个最小堆，现欲将节点 p p p 和最小堆 H 0 , H 1 H_0,H_1 H0​,H1​ 合并为一个新的最小堆。

所需操作是：

（1）令 H 0 H_0 H0​ 为 p p p 的左孩子， H 1 H_1 H1​ 为 p p p 的右孩子；
（2）接着，从 p p p 开始执行下虑操作即可。

因此，给定一个数组，其大小为 n n n，现欲使用它构建一个最小堆所需的操作为：

（1）设当前节点为 x x x，其节点编号为 m m m，初始时， x x x 为堆的最后一个内部节点，编号为 m ← ⌊ ( n − 2 ) / 2 ⌋ m \leftarrow \lfloor (n-2)/2 \rfloor m←⌊(n−2)/2⌋；
（2）如果 m < 0 m \lt 0 m<0，则返回；否则，从 x x x 开始执行下虑操作（先将子树 x x x 转换为一个最小堆）；
（3）接着将 x x x 指向前一个内部节点，其编号为 m ← m − 1 m \leftarrow m-1 m←m−1，然后回到步骤（2）。

上述建堆操作的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。

6. 堆排序

总体而言，堆排序的过程为：对堆执行 n n n 次删除操作，因此其时间复杂度为 O ( n log ⁡ n ) O(n\log n) O(nlogn)。

因为每次删除操作都会将被删除的堆顶元素放到堆尾，而且堆的大小也在不断地减一（堆尾随之不断地向前移动），因此，最后的数组将包含排序后的元素。

对于最小堆来说，堆排序的直接结果是逆序的；而对于最大堆来说，则是顺序的。

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